Funckje charakterystyczne

[leszczu450]

Cześć !

Wiem, że \(\displaystyle{ X \sim \mathcal{N}(0,1)}\) oraz, że \(\displaystyle{ \varphi_X(t)=e^{- \frac{t^2}{2} }}\). Za zadanie mam wyznaczyć \(\displaystyle{ EX^4}\).

Skorzystać tutaj chcę z następujacego twierdzenia:

Jeśli \(\displaystyle{ E|X|^n < \infty}\), to \(\displaystyle{ n}\)-ta pochodna \(\displaystyle{ \varphi_X^{(n)}}\) istnieje i jest jednostajnie ciągła. Ponadto zachodzi równość:

\(\displaystyle{ \varphi_X^{(n)}(0)= i^n EX^n}\)

Obliczyłem zatem czwartą pochodną:

\(\displaystyle{ \varphi_X^{IV}(t)= e^{- \frac{t^2}{2} }(t^4-6t^2+3)}\)

Stąd:

\(\displaystyle{ \varphi_X^{IV}(0)=3 = i^4EX^4=EX^4}\)

Nie wiem, jak sprawdzić tutaj załozenie odnośnie całkowałności \(\displaystyle{ |X|^4}\). Jeśli to sprawdzę, to rozwiązanie pójdzie dalej tak jak to zrobiłem (o ile nie ma błędu).

Z góry dzięki za pomoc!

[bartek118]

Wydaje mi się, że w tym miejscu po prostu możemy założyć, że "to wiemy", gdyż znamy rozkład normalny.

[leszczu450]

bartek118, ale co nam daje tutaj fakt, ze to rozkład normalny Bartku ?

[bartek118]

W rozkładzie normalnym, każdy moment jest skończony, tj.
\(\displaystyle{ \mathbb{E} |X|^m < \infty}\)
dla każdego \(\displaystyle{ m}\).
Inaczej, można spróbować to szacować
\(\displaystyle{ \mathbb{E} X^4 = \int_\mathbb{R} x^4 f_X (x) \mathrm{d}x}\)
ale problem będzie z tym, że nośnik \(\displaystyle{ f_X}\) to cała prosta, zatem nie mogę sobie ot tak tego pod całką przez stałą wyszacować.

[leszczu450]

bartek118, czyli wystarczy powołać, się na fakt, że każdy moment jest skończony. A skąd taka informacja ?

[bartek118]

No właśnie, to takie "prawie" koło; wiemy, to bo zostało to kiedyś policzone Ale ogólnie - jeżeli \(\displaystyle{ p(x)}\) jest wielomianem, to funkcja \(\displaystyle{ p(x) \cdot e^{- \frac{ x^2}{2} }}\) jest całkowalna, w szczególności zatem wszystkie momenty są skończone.

[leszczu450]

bartek118, dzięki wielkie Bartku : ) A czy mógłbyś powiedzieć mi coś więcej o funkcjach charaktertystycznych ? Na wiki i w książce jakoś nie mogę tego do końca ogarnąć. Co to jest za obiekt tak na dobra sprawę ? I po co się to wprowadza i jakie ma zastosowanie ?

[bartek118]

To jest podobnie jak z dystrybuantą, czy gęstością. Zawiera wszystkie informacje o rozkładzie. Mając ją da się wyznaczyć pozostałe rzeczy jak np. gęstość.
Jest ważna z innego punktu widzenia; dystrybuanta czy gęstość przydawały się do praktycznego obliczania pewnych prawdopodobieństw, tak funkcja charakterystyczna ma znaczenie bardziej teoretyczne (choć ponoć nie tylko, ale aż takim ekspertem to nie jestem); chociażby ułatwia dowód centralnego twierdzenia granicznego. Ba, ma ona związek z pewnym ważnym operatorem na przestrzeni \(\displaystyle{ L^1}\) i \(\displaystyle{ L^2}\), tj. z transformatą Fouriera, ale tu też ludzie od analizy harmonicznej mogliby się bardziej wypowiedzieć, ale często jest tak w analizie fourierowskiej, ciężko jakieś własności/warunki lub dowody poprowadzić ot tak wprost, a po przejściu przez transformatę Fouriera wiele się trywializuje, a potem poprzez odwrotną transformatę się powraca.
Tak, czy owak - jak już pisałem, jest to jeden ze sposobów określenia rozkładu; nawet trochę bardziej ogólny; wiki podpowiada także, że przydaje się mocno w teorii rozkładu zmiennej losowej na sumę innych: ... stribution