Witam
Napotkałem się z następującym zadaniem: \(\displaystyle{ X~Geo(p)}\) \(\displaystyle{ Y~Geo(n)}\). Korzystając z funkcji charakterystycznych mam znaleźć rozkład: \(\displaystyle{ Z=X+Y}\)
Zacząłem od rozkładu:
\(\displaystyle{ \mathbb{P}\left[ X=k\right] = p(1-p)^{k-1}}\)
Korzytając z funkcji charakterystycznych:
\(\displaystyle{ \phi (t) = E(e^{itx}) = \sum_{ k=0 }^{\infty} e^{itk} \cdot p(1-p)^{k-1} = \frac{p}{1-p} \sum_{ k=0 }^{\infty} (e^{it} \cdot (1-p))^{k}}\)
W tym momencie się zaciąłem... jak to dalej przekształcić?
Jedyne co mi przychodzi na myśl to możemy to zwinąć bo dostaliśmy szereg geometryczny:
\(\displaystyle{ \frac{p}{1-p} \sum_{ k=0 }^{\infty} (e^{it} \cdot (1-p))^{k} = \frac{p}{1-p} \cdot \frac{e^{it} \cdot (1-p)}{1-e^{it} \cdot (1-p)} = \frac{pe^{it}}{1-e^{it} \cdot (1-p)}}\)
\(\displaystyle{ Y=\frac{ne^{it}}{1-e^{it} \cdot (1-n)}}\)
Ale nie wiem czy moje przypuszczenia są dobre...
#Edit
\(\displaystyle{ Z=X+Y= \frac{pe^{it}}{1-e^{it} \cdot (1-p)}+\frac{pe^{it}}{1-e^{it} \cdot (1-n)}}\)
I to wystarczy?