oczekiwana wartość w grze hazardowej

[gacman]

W hazardowej grze losowej gracz rzuci monetą 12 razy, a bankier wypłaci mu tyle złotówek, ile razy wypadła reszka. Jaka jest wartość oczekiwana wygranej gracza? Ile powinien gracz płacić za udział w tej grze, aby bankier mógł liczyć na zyski?

Zacząłem oczywiście od określenia zbioru \(\displaystyle{ {\Omega}=\left\{ r, ro, rro, rrro, ...,rrrrrrrrrrrr\right\}}\). Poźniej wziąłem się za zmienne losowe, czyli po prostu \(\displaystyle{ {\Omega}_{x}=\left\{1,2,3,...,12\right\}}\)Nie wiem teraz dokładnie czym będzie rozkład zmiennej losowej, a także jak obliczyć wartość oczekiwaną. Ktoś pomoże?

[jarek4700]

Tak na chłopski rozum to wartość oczekiwana jest 6zł. Więc powinien zapłacić co najmniej 6,01zł.

A jak chcesz to koniecznie obliczyć to możesz z takiego wzoru \(\displaystyle{ E(X) = \sum_{i=0}^{12}x_{i}p_{i}}\)
gdzie \(\displaystyle{ x_{i} = i}\) jest liczbą reszek, a \(\displaystyle{ p_{i}}\) oznacza pstwo wypadnięcia dokładnine \(\displaystyle{ i}\) reszek a to można ze schematu Bernoulliego policzyć. Czyli zostaje:

\(\displaystyle{ E(X) = \sum_{i=0}^{12}ip_{i} = \sum_{i=0}^{12}i{12 \choose i}\left(\frac{1}{2}\right)^{i}\left(\frac{1}{2}\right)^{12-i} = \left(\frac{1}{2}\right)^{12}\cdot \sum_{i=0}^{12}i{12 \choose i} =}\)
\(\displaystyle{ \left(\frac{1}{2}\right)^{12}\cdot 12 \cdot 2^{12-1} = 6}\)

Tutaj wykorzystałem wzór kombinatoryczny: \(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{k}i{k \choose i} = k\cdot2^{k-1}}\)

[Adifek]

Rzuty są niezależne o tym samym rozkładzie, więc wartości oczekiwane pojedynczych rzutów się dodadzą i nie trzeba korzystać z równości kombinatorycznych

[gacman]

Czyli w schemacie Bernoullego funkcja p (przypisująca każdemu wynikowi jego prawdopodobieństwo) ma takie same wartości jak funkcja p_x (rozkład zmiennej losowej)?