Rozklad normalny, wyznaczanie rozkladu zmeinnej Y

[TeoO_]

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład normalny z parametrami \(\displaystyle{ \mu=0}\), \(\displaystyle{ \sigma^2 = 4}\). Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=3|X| + 1}\).

Liczę tak:

\(\displaystyle{ F_Y(x) = P(Y \le x) = P(3|X| + 1 \le x) = P(3|X| \le x-1) = P(|X| \le \frac{x-1}{3}) = P(-\frac{x-1}{3} \le X \le \frac{x-1}{3})}\).

I teraz mam pytanie, czy żeby skorzystać z dystrybuanty rozkładu normalnego to muszę ustandaryzować moją zmienną losową \(\displaystyle{ X}\) (zdaje mi się, że tak ale wolę się upewnić).

Tzn. czy nastepnym krokiem powinno być: \(\displaystyle{ P(-\frac{x-1}{6} \le \frac{X}{2} \le \frac{x-1}{6})}\) ?

[Everard]

Kwestia tego, czy znasz dystrybuantę rozkładu \(\displaystyle{ N(0,1)}\), czy wzór ogólny na dystrybuantę \(\displaystyle{ N(\mu,\sigma^2)}\) W każdym razie z postaci do której to doprowadziłeś możesz teraz wyliczyć dystrybuantę naszego \(\displaystyle{ Y}\) używając jedynie dystrybuanty \(\displaystyle{ N(0,1)}\).

[TeoO_]

Myślałem żeby zrobić to tak:

\(\displaystyle{ P(-\frac{x-1}{6} \le \frac{X}{2} \le \frac{x-1}{6}) = \Phi(\frac{x-1}{6}) - \Phi(-\frac{x-1}{6}) = 2\Phi(\frac{x-1}{6}) - 1}\)
\(\displaystyle{ F_Y(x) = 2\Phi(\frac{x-1}{6}) - 1 / ()'}\)
\(\displaystyle{ f_y(x) = \frac{1}{3} \phi(\frac{x-1}{6})}\)

Wiedząc, że \(\displaystyle{ \phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2}}\), to zmienna losowa \(\displaystyle{ Y}\) będzie miała rozkład o gęstości:
\(\displaystyle{ f_y(x) = \frac{1}{3\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\cdot(\frac{x-1}{6})^2}}\).

Tylko teraz pytanie dla jakich przedziałów? Bo \(\displaystyle{ Y=3|X|+1}\) przyjmuje zawsze wartości \(\displaystyle{ \ge 1}\). Czyli po prostu dla \(\displaystyle{ x < 1}\) gęstość \(\displaystyle{ f_y(x) = 0}\) ?-- 24 sty 2015, o 20:39 --?