Zbieżność według prawdopodobieństwa

[leszczu450]

Cześć !

Dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) rozkład zmiennej \(\displaystyle{ X_n}\) zadany jest następująco:

\(\displaystyle{ P(X_n=-n-4)= \frac{1}{n+4} \\ P(X_n=n+4)= \frac{3}{n+4} \\ P(X_n=-1)= \frac{n}{n+4}}\)

Zbadać zbieżność ciągu do zera według prawdopodobieństwa.

Moje rozwiązanie

Niech \(\displaystyle{ \varepsilon >0}\). Wówczas:

\(\displaystyle{ P(|X_n-X|> \varepsilon)=P(|X_n|>\varepsilon)= \frac{3}{n+4} \to 0}\) przy \(\displaystyle{ n \to \infty}\)

Czy to jest poprawne rozwiązanie ? Narysowałem sobie wykres, gdzie na osi rzędnych są wartości \(\displaystyle{ X_n= \frac{1}{n+4}, X_n= \frac{3}{n+4} , X_n= \frac{n}{n+4}}\) i oczywiście to wszystko razem sumuje się do jedynki, więc zaznaczam wszystko na przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\). Następnie zaznaczyłem odpowienie prawdopodobieństwa na odpowiednich przedziałach. Czy to jest dobry tok rozumowania?

Z góry dziękuję.

[Zordon]

Do zera to to nie zbiega, raczej do \(\displaystyle{ X=-1}\).

\(\displaystyle{ P(|X_n-X|>\varepsilon)}\) jest źle wyznaczone.
Twojego wykresu chyba nie rozumiem.

[leszczu450]

Zordon, hmm no to poprosiłbym Ciebie o wskazówki. Mam zbadać zbieżnośc według prawdopodobieństwa. Czyli biore dowolne \(\displaystyle{ \varepsilon >0}\) i muszę sprawdzić do czego zbiega takie wyrażenie:

\(\displaystyle{ P(|X_n-X|> \varepsilon)=P(|X_n|>\varepsilon)=\ldots}\)

I szczerze mówiąc, to od tego momentu kompletnie nie wiem za co się zabrać. Byłbym bardzo wdzięczny jakbyś tak łopatologicznie mi tutaj wyjaśnił, co mam zrobić : )

[Zordon]

Ale czym jest u Ciebie \(\displaystyle{ X}\)? Bo jeśli zerem, to zbieżności nie będzie.

[leszczu450]

Zordon, \(\displaystyle{ X}\) jest zerem. Bo mam sprawdzić zbieżność do zera.

[Zordon]

No to \(\displaystyle{ \epsilon = 0.1}\)
\(\displaystyle{ P(|X_n|>\epsilon)\geq P(X_n=-1)\geq n/(n+4)\to 1}\)
a tak naprawdę \(\displaystyle{ P(|X_n|>\epsilon)=1}\).

[leszczu450]

Zordon, a dlaczego opuściłeś wartośc bezwględną przy \(\displaystyle{ X_n}\) ?

[Zordon]

Korzystam jedynie z fundamentalnej własności zdarzeń:
jeśli \(\displaystyle{ B\supseteq A}\) to \(\displaystyle{ P(B)\geq P(A)}\)
Innymi słowy, jeśli zdarzenie \(\displaystyle{ A}\) pociąga zdarzenie \(\displaystyle{ B}\), to \(\displaystyle{ P(B)\geq P(A)}\)
Niewątpliwie \(\displaystyle{ X_n=-1}\) pociąga \(\displaystyle{ |X_n|>0.1}\)

[leszczu450]

Zordon, a mogę zrobić to tak:

\(\displaystyle{ \varepsilon=0,1}\)

\(\displaystyle{ P(|X_n|> 0,1)= P(X_n > 0,1 \vee X_n < - 0,1) =\\= P(X_n>0,1)+P(X_n<-0,1)= \frac{3}{n+4} + \frac{n}{n+4}= \frac{n+3}{n+4} \to 1}\) dla \(\displaystyle{ n \to \infty}\)

Czy takie rozumowanie również jest ok ?

[Zordon]

\(\displaystyle{ P(X_n<-0,1)=(n+1)/(n+4)}\), poza tym jest w porządku

[leszczu450]

Zordon, czyli tak: żeby była zbieżność według prawdopodobieństwa potrzebna byłaby nam zbieżnośc tego wyrażenia do zera dla każdego epsilona większego od zera. My wskazaliśmy takiego epsilona, że zbieżności do zera nie ma i tutaj koniec.

Ale mam jeszcze jedno pytanie. Skąd wiedzieć jakim tropem iść ? Skąd wiedziałeś, ze tutaj zbieżności akurat do zera nie ma. I jak mniej więcej wpaść na to, do czego dany ciąg jest zbieżny ?

[Zordon]

No tak, nie ma zbieżności do 0.
Skoro dla dużych \(\displaystyle{ n}\), \(\displaystyle{ P(X_n=-1)>0.9999999999}\) to chyba dość widać, że będzie zbiegał do -1

[leszczu450]

Zordon, nie rozumiem. Póki co jestem w stanie jedynie powiedzieć, że im większe \(\displaystyle{ n}\) bedę brał tym prawdopodobieństwo dla bardzo duzego \(\displaystyle{ X_n}\) będzie bliskie zeru i również prawdopodobieństwo dla bardzo małego \(\displaystyle{ X_n}\) będzie bliskie zeru, zaś prawdopodobieństwo dla \(\displaystyle{ X_n=-1}\) dla dużych \(\displaystyle{ n}\) będzie bliskie jedynce. Niemniej jednak, nadal, niby dlaczego z tego wynika, że nie ma zbieżności do zera? I jak z tego ma wynikać do czego mamy zbieżność ?

[Zordon]

Skoro wartości funkcji są odseparowane od \(\displaystyle{ 0}\) z ppb. zbiegającym do \(\displaystyle{ 1}\), to jakim cudem chcesz mieć zbieżność do 0? Zapewne brakuje Ci takich 2-3 godzin zadumy nad definicją i zabawy z prostymi przykładami.

[leszczu450]

Zordon, no właśnie tak sobie o tym myślę i doszedłem do wniosku, że chyba rzeczywiście zbieżność będzie tutaj do \(\displaystyle{ X=-1}\), bo tam mamy skupione niemalże całe prawdopodobieństwo. A tam na lewo i prawo , dla coraz większych i coraz mniejszych \(\displaystyle{ X_n}\) prawdopodobieństwo jest bliskie zeru i dlatego \(\displaystyle{ X=-1}\) jest tym czego szukamy. Zgadza się?

Kolejny przykład: \(\displaystyle{ P(X_n=1/n)=1/2}\) oraz \(\displaystyle{ P(X_n=-1/n)=1/2}\). Mam sprawdzić zbieżność ciągu \(\displaystyle{ X_n}\) według prawdopodobieństwa. Stawiam, że ciąg ten będzie zbieżny do \(\displaystyle{ X=0}\). Bo im większe \(\displaystyle{ n}\) wezmę, tym wartości \(\displaystyle{ X_n}\) będą blizsze zero, a całe p-stwo będzie tam właśnie skupione. Dobrze myślę ?