Zbieżność według prawdopodobieństwa

[Zordon]

Tak, dobrze.

[leszczu450]

Zordon, niemniej jednak nadal nie umiem pokazać, że mamy zbieżność do zera. Istotnie:

Niech \(\displaystyle{ \varepsilon >0}\). Wówczas:

\(\displaystyle{ P(|X_n-0|> \varepsilon)= P(|X_n|>\varepsilon)= P(X_n > \varepsilon) + P(X_n < - \varepsilon)}\)

I nie wiem jak pokazać, że to zbiega do zera. Już zgłupiałem...-- 21 sty 2015, o 15:04 --Zordon, zaproponuje takie rozwiązanie. Rozważmy z osobna \(\displaystyle{ P(X_n > \varepsilon)}\) i \(\displaystyle{ P(X_n < = \varepsilon)}\).

Mamy:

\(\displaystyle{ P(X_n > \varepsilon)= \begin{cases} 0 & \varepsilon \ge \frac{1}{n} \\ \frac{1}{2} & \varepsilon \in \left( 0, \frac{1}{n} \right) \end{cases}}\)

Przechodząc z \(\displaystyle{ n}\) do nieskończoności okazuje się, że \(\displaystyle{ P(X_n> \varepsilon)=0}\) p.w. czyli poza zbiorem miały zero(bo wtedy przedział z drugiego warunku zdegenruje się do punktu). Analogicznie w drugiej sytuacji. Czyli:

\(\displaystyle{ P(X_n < - \varepsilon)= \begin{cases} 0 & \varepsilon \ge \frac{1}{n} \\ \frac{1}{2} & \varepsilon \in \left( 0, \frac{1}{n} \right) \end{cases}}\)

Zatem dla dowolnego \(\displaystyle{ \varepsilon >0}\) mamy, że:

\(\displaystyle{ P(|X_n-0|>\varepsilon) \to 0}\)

Czy to jest poprawne rozumowanie ?

[Zordon]

Jest poprawne.

[leszczu450]

Zordon, a da się to zrobić inaczej? Czy jest inna droga po prostu ?

[Zordon]

Tutaj nie ma żadnej drogi, jest tylko jeden pojedynczy krok, tj. popatrzenie na definicję i stwierdzenie, że działa. Nie sądzę, żeby ten krok można było zrobić na wiele różnych sposobów.

[leszczu450]

Zordon, mam tez sprawdzić zbieżność w \(\displaystyle{ L^p}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ p >0}\). Zatem patrzę, jak zachowuje się wyrażenie \(\displaystyle{ E|X_n|^p}\)

\(\displaystyle{ E|X_n|^p= \left( \frac{1}{n} \right)^p \cdot \frac{1}{2} + \left( \frac{-1}{n} \right)^p \cdot \frac{1}{2}= \frac{1}{2}\left( \frac{1+ \left( -1\right)^p }{n^p} \right)= \begin{cases} \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{n^p}= \frac{1}{n^p} & p=2k , k \in \ZZ \\ 0 & p=2k+1 , k \in \ZZ \end{cases}}\)

Zatem:

1) Dla \(\displaystyle{ p=2k+1 , k \in \ZZ}\) mamy, że \(\displaystyle{ E|X_n|^p=0 \to 0}\)
2) Dla \(\displaystyle{ p=2k , k \in \ZZ}\) mamy, ze \(\displaystyle{ E|X_n|^p = \frac{1}{n^p} \to 0}\)
dla \(\displaystyle{ n \to \infty}\)


Zatem mamy zbieżność \(\displaystyle{ X_n}\) do \(\displaystyle{ 0}\) w \(\displaystyle{ L^p}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ p>0}\)

Czy tu jest wszystko ok?

I jak ze zbieżnością prawie na pewno ?

[Zordon]

Ehh, \(\displaystyle{ |X_n|^p}\), a nie \(\displaystyle{ X_n^p}\). To drugie zresztą nie ma sensu zazwyczaj