Zbadać zbieżnośc ciągu niezależnych zmiennych losowych

[leszczu450]

Cześć !

Zadanie:

\(\displaystyle{ X_1, X_2, \ldots}\) to ciąg niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie \(\displaystyle{ \mathcal{E}(1)}\) oraz:

\(\displaystyle{ Y_n= \min\left\{ X_1, \ldots , X_n\right\}}\).

Pokaż, że ciąg \(\displaystyle{ \left\{ Y_n\right\}}\) jest zbieżny do \(\displaystyle{ 0}\) według prawdopodobieństwa i prawie wszędzie.

Zaczynam od policzenia dystrybuanty \(\displaystyle{ Y_n}\). Z właności minimum oraz z niezależności zmiennych losowych otrzymuję, że:

\(\displaystyle{ F_{Y_n} (t)= 1-e^{-nt}}\) dla \(\displaystyle{ t \ge 0}\)

Teraz, aby zbadać zbieżność według prawdopodobieństwa musze pokazać, że dla każdego \(\displaystyle{ \varepsilon >0 \ P(|Y_n - Y|>\varepsilon) \rightarrow 0}\) .

Zatem, weźmy dowolne \(\displaystyle{ \varepsilon >0}\). Wówczas:

\(\displaystyle{ P(|Y_n-0|> \varepsilon)=P(|Y_n|>\varepsilon)=1 - P(|Y_n| \le \varepsilon)= 1 - P(Y_n \leq \varepsilon)= \frac{1}{e^{n\varepsilon}} \to 0}\) dla \(\displaystyle{ n \to \infty}\). Zatem mam już zbieżność według prawdopodobieństwa. Czy póki co wszystko jest ok?

[bartek118]

Wygląda OK.

[leszczu450]

bartek118, dzięki!

[Snayk]

Co w przypadku zbieżności prawie na pewno (wszędzie)?