rzucanie kostką, rozkład geometryczny

[matinf]

Rzucamy kostką sześcienną do uzyskania pierwszej piątki lub szóstki. Dla \(\displaystyle{ A \subseteq \{1, . . . , 6\},}\)
niech \(\displaystyle{ X_A}\) oznacza, ile razy wypadała liczba oczek ze zbioru \(\displaystyle{ A.}\) Dla jakich \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ X_A}\)
ma rozkład geometryczny dla pewnego \(\displaystyle{ 0<p\le 1}\)

Wg mnie tylko zbior \(\displaystyle{ A=\{1,2,3,4,5,6\}}\). Dlaczego ?
Wówczas gdy rzucamy kostką ileś tam razy i powiedzmy, że za \(\displaystyle{ k}\)-tym razem trafiamy piątkę i szóstkę.
Wtedy \(\displaystyle{ Pr(X=k)=q^{k-1}p}\). Wówczas zawsze trafialiśmy do zbioru, ale nie trafialiśmy w szóstkę bądź piątkę.Udało się to dopiero za \(\displaystyle{ k}\)-tym razem. Tak czy inaczej mamy \(\displaystyle{ k}\) trafień w zbiór, a rozkład p-stwa jest faktycznie geometryczny. Ale czy jest ok ? Może są inne zbiory ?

[Everard]

Istotne jest że zmienna \(\displaystyle{ X=}\)ilość wykonanych rzutów ma rozkład geometryczny z \(\displaystyle{ p=\frac13}\). Z tego wynika że nasza zmienna też ma rozkład geometryczny jeśli (a nawet wtedy i tylko wtedy, gdy) jej rozkład jest taki sam jak rozkład zmiennej \(\displaystyle{ X}\) - innymi słowy gdy zbiór \(\displaystyle{ A}\) nie "dokłada" żadnych nowych informacji. A to zachodzi dla dowolnego \(\displaystyle{ A}\) takiego, że \(\displaystyle{ \{1,2,3,4\}\subset A}\) (zauważ, że w Twoim rozumowaniu nie ma znaczenia, czy \(\displaystyle{ 5,6}\) należą do \(\displaystyle{ A}\) czy nie, gdyż wyrzucenie którejś z nich kończy eksperyment). Widać że jeśli ten warunek nie zachodzi to nie mamy szans na rozkład geometryczny, gdyż odpowiednie prawdopodobieństwo będzie postaci
\(\displaystyle{ P(X_A=k)=P(A\cap \{1,...,4\})^{k-1}\frac13,}\)
co jest rozkładem geometrycznym wyłącznie gdy \(\displaystyle{ P(A\cap \{1,...,4\})=\frac23}\).