Rozkład zmiennej losowej

[VillagerMTV]

Witam!
Mam problem z zadaniem:
Rzucamy trzema kostkami do gry dotąd, aż suma oczek \(\displaystyle{ n}\) wszystkich trzech kostkach będzie \(\displaystyle{ 10}\). Znaleźć rozkład zmiennej losowej, którą jest ilość wykonanych rzutów.

Nie wiem jak się za to zabrać.

Wiadomo, że \(\displaystyle{ x,y,z \in \left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}}\).
Jako \(\displaystyle{ A}\) oznaczmy sobie zdarzenie polegające na wyrzuceniu \(\displaystyle{ 10}\) na wszystkich trzech kostkach.

\(\displaystyle{ P(A)= \frac{42}{6^3}}\) (\(\displaystyle{ 15}\)stąd, że jest \(\displaystyle{ 7}\) możliwości na taką sumę [\(\displaystyle{ (4,3,3),(5,2,3),(6,3,1),(6,2,2),(4,5,1),(4,4,2),(5,1,4)}\)], ale nie rozróżniam wtedy\(\displaystyle{ (4,5,1)}\) i \(\displaystyle{ (4,1,5)}\), więc jeszcze trzeba pomnożyć przez\(\displaystyle{ 3!}\)

I nie wiem co dalej z tym zrobić.

Z góry dziękuję za pomoc!

Edit:
W pierwszym rzucie mamy prawdobodobieństwo \(\displaystyle{ \frac{42}{6^3}}\), w drugim \(\displaystyle{ \left[ 1-\frac{42}{6^3}\right] \cdot \frac{42}{6^3}}\), w trzecim \(\displaystyle{ \left[ 1-\left[ 1-\frac{42}{6^3}\right] \cdot \frac{42}{6^3}\right] \cdot \frac{42}{6^3}}\)

Czyli jeśli \(\displaystyle{ X_n}\) jest \(\displaystyle{ n}\)-tym rzutem, to prawdopodobieństwo wynosi:

\(\displaystyle{ \left[ 1-\frac{42}{6^3}\right]^{n-1} \cdot \left[ \frac{42}{6^3}\right]}\)

Dobrze jest to zrobione? Tyle wystarczy?

[Everard]

Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie zdarzeniem "na trzech kostkach wypadło \(\displaystyle{ 10}\)", a \(\displaystyle{ \tau}\) zmienną losową opisującą ilość wykonanych rzutów.

Widać, że \(\displaystyle{ P(A)=\frac18}\) (sprawdź sobie swoje wyliczenia).
Wtedy \(\displaystyle{ P(\tau=k)=\frac18(\frac78)^k}\) - rozpatrujemy po jednym rzucie naraz, pierwsze \(\displaystyle{ k-1}\) (niezależnych) rzutów musi dać wynik różny niż \(\displaystyle{ 10}\) (czego prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ \frac78}\)), ostatni musi dać wynik \(\displaystyle{ 10}\).

[VillagerMTV]

Okej. Czyli dobrze później wymyśliłem, tylko pozostaje prawdopodobieństwo wyrzucenia, któee u mnie wyszło inne.

Skąd jest \(\displaystyle{ \frac{1}{8}}\) i czemu moje rozumowanie jest błędne?

edit:
Jedna z możliwych trójek się powtarza. Ale i tak moje pstwo wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\), a nie \(\displaystyle{ \frac{1}{8}}\)

[Everard]

Wszystkich możliwych wyników jest \(\displaystyle{ 6^3}\).

Opcje odpowiadające naszemu zdarzeniu to:
\(\displaystyle{ (1,3,6),...,(1,6,3),(2,2,6),...,(2,6,2),(3,1,6),...,(3,6,1),}\)
\(\displaystyle{ (4,1,5),...,(4,5,1), (5,1,4),...,(5,4,1), (6,1,3),...,(6,3,1)}\)
W sumie \(\displaystyle{ 4+5+6+5+4+3=27}\) opcji.

Zapytasz "ale niektóre opcje się powtarzają". Jeżeli biorę jako moją przestrzeń zdarzeń wszystkie możliwe rzuty kostką (czyli \(\displaystyle{ 6^3}\)), to znaczy że biorę pod uwagę kolejność kostek i rozróżniam wyniki \(\displaystyle{ (1,2,3), (1,3,2)}\). Gdybym chciał tego uniknąć, musiałbym zmienić liczbę wszystkich zdarzeń i wtedy moje poszczególne zdarzenia elementarne miałyby różne prawdopodobieństwa (bo prawdopodobieństwo uzyskania \(\displaystyle{ \{1,2,3\}}\) byłoby \(\displaystyle{ 6}\) razy większe niż \(\displaystyle{ \{1,1,1\}}\)). Prościej rozróżniać kolejność, serio

[VillagerMTV]

Dziękkuję za pomoc