Dzień dobry, prosiłbym o sprawdzenie jednego podpunktu i pomoc w innym Zadanie:
Dwuwymiarowa zmienna losowa \(\displaystyle{ (X, Y)}\) ma rozkład prawdopodobieństwa określony funkcją gęstości:
\(\displaystyle{ f(x, y) = \begin{cases} cx^2y , y \ge 0 \wedge x^2+y^2 \le 1 \\ 0 \ w \ p.p\end{cases}}\)
a) Obliczyć c
b) Wyznaczyć gęstości rozkładów brzegowych zmiennych losowych \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\).
a:
\(\displaystyle{ 1 = \int_{-1}^{1}\int_{0}^{1} cx^2ydydx = \int_{-1}^{1}cx^2\int_{0}^{1}ydydx = \int_{-1}^{1} cx^2 \cdot \frac{1}{2} d = \frac{c}{2} \int_{-1}^{1}x^2dx = \frac{c}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{c}{3}}\)
Skąd \(\displaystyle{ c = 3}\)
Co do b, to z tego co wiem robimy tak, że licząc np rozkład brzegowy \(\displaystyle{ X}\) ustalam zmienną x i całkuję \(\displaystyle{ f(x,y)}\) po y, po obszarze w jakim może się wówczas poruszać \(\displaystyle{ y}\). Czyli:
\(\displaystyle{ f_X(x) = \int_{0}^{\sqrt{1-x^2}}3xydy = \begin{cases} 0 \ , \ x \not\in [-1; 1] \\ 3x\int_{0}^{\sqrt{1-x^2}}ydy = 3x \cdot \frac{1-x^2}{2} = \frac{3x-3x^3}{2} \ , \ x \in [-1; 1]\end{cases}}\)
Jednak licząc rozkład brzegowy \(\displaystyle{ Y}\) coś mi (chyba?) nie wychodzi, bo pod koniec redukuje mi się wszystko do 0, tj:
\(\displaystyle{ f_Y(y) = \int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} 3xydx = \begin{cases} 0 \ , \ y \not\in [0; 1] \\ 3y\int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} xdx = \frac{3y}{2} \cdot \left((\sqrt{1-y^2})^2 - (-\sqrt{1-y^2})^2\right) = 0 \ , \ y \in [0; 1]\end{cases}}\)
Prosiłbym więc o odpowiedź, czy dobrze rozumuję oraz gdzie są ewentualne błędy