Rozkład normalny - błąd

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
garrincha94
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 10 lip 2014, o 19:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1 raz

Rozkład normalny - błąd

Post autor: garrincha94 »

Witam, nie mogę zrozumieć pewnej rzeczy bądź mam błąd w rozumowaniu:
Niech zmienna losowa X~N(0,1), Wyznacz rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=X^{2}}\)
Najpierw wyznaczam dystrybuantę (dla t>0):
\(\displaystyle{ F _{y}(t)=P(Y<t)=P( X^{2}<t )=P( -\sqrt{t} <X< \sqrt{t} )=F _{x}( \sqrt{t})-F _{x} (- \sqrt{t} )=2 F _{x} ( \sqrt{t} )-1}\)

Następnie ją różniczkuję:
\(\displaystyle{ f _{y} (x)=2F' _{x} ( \sqrt{x} )=2 f _{x}( \sqrt{x} )\frac{1}{2 \sqrt{x} }= 2 \frac{1}{ \sqrt{2 \pi }} e^{- \frac{x}{2} } \frac{1}{2 \sqrt{x} }= \frac{ e^{- \frac{x}{2} } }{ \sqrt{2 \pi x} }}\)

Gdy x zbliża się do zera ostatnia wartość dąży do \(\displaystyle{ \infty}\) a jednocześnie\(\displaystyle{ f _{y}(0)=f _{x} (0)= \frac{1}{ \sqrt{2 \pi } }}\)

Funkcja gęstości jest w takim razie nieciągła?
SlotaWoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 758 razy

Rozkład normalny - błąd

Post autor: SlotaWoj »

Na końcu wyprowadzenia pochodnej z zasady powinno być:
  • \(\displaystyle{ ...\ }= \frac{ e^{- \frac{\left| x \right|} {2} } }{ \sqrt{2 \pi x} }}\)
bo \(\displaystyle{ \sqrt{x^2} = \left| x \right|}\), a tak w ogóle to w tym wyprowadzeniu lepiej byłoby używać zmiennej \(\displaystyle{ t}\) zamiast \(\displaystyle{ x}\).

Przecież wyznaczasz rozkład zmiennej \(\displaystyle{ Y}\) dla \(\displaystyle{ t > 0}\) więc \(\displaystyle{ f_y(0)}\) nie istnieje i nie ma mowy o ciągłości. Tylko \(\displaystyle{ f_y(1)=f_x(1)}\), a po za tym gęstości obu rozkładów są zawsze różne. To że \(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} f_y(t) = \infty}\) oznacza jedynie, że styczna do początku dystrybuanty jest pionowa.
garrincha94
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 10 lip 2014, o 19:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1 raz

Rozkład normalny - błąd

Post autor: garrincha94 »

Nie powinno być tak że \(\displaystyle{ f _{y}(1)=f _{x}(1)+f _{x}(-1)=2f _{x}(1)}\) ?
SlotaWoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 758 razy

Rozkład normalny - błąd

Post autor: SlotaWoj »

Zgodnie z Twoim wyprowadzeniem jest (po przekształceniach):
  • \(\displaystyle{ \int_{0}^{y} f_y(t) dt = 2 \int_{0}^{ \sqrt{y} } f_x(t) dt}\) ,
a to wcale nie oznacza, że:
  • \(\displaystyle{ f_y(1)=2f_x(1)}\)
Sprawdziłem jeszcze coś innego. W wyniku całkowania numerycznego (pod Excelem metodą trapezów przy dx = 0,0001) otrzymałem, że już:
  • \(\displaystyle{ \int_{0}^{0,2580} \frac{ e^{- \frac{t}{2} } }{ \sqrt{2 \pi t}} \ dt > 1 \quad \hbox{i} \quad \int_{0}^{10} \frac{ e^{- \frac{t}{2} } }{ \sqrt{2 \pi t}} \ dt \approx 1,60}\)
Nie przypuszczam żeby błąd całkowania był aż tak duży, aby ww. wartości całek można by zaakceptować. Musi być:
  • \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty} \frac{ e^{- \frac{t}{2} } }{ \sqrt{2 \pi t}} \ dt \approx 1}\)
więc nie jest wykluczone, że całe wyprowadzenie (co do koncepcji) jest błędne.
Ostatnio zmieniony 18 sty 2015, o 14:09 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
garrincha94
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 10 lip 2014, o 19:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1 raz

Rozkład normalny - błąd

Post autor: garrincha94 »

Zgodnie z Twoim wyprowadzeniem jest (po przekształceniach):

\(\displaystyle{ \int_{0}^{y} f_y(t) dt = 2 \int_{0}^{ \sqrt{y} } f_x(t) dt}\)

a to wcale nie oznacza, że:

\(\displaystyle{ f_y(1)=2f_x(1)}\)
To prawda, jedno z drugiego nie wynika ale nie pisałem że powinno, rozumowałem tak że
\(\displaystyle{ f _{y}(1)=P(Y=1)=P(X ^{2} =1)=P(X=-1 \vee X=1)=f _{x}(-1)+f_{x}(1)=}\) z nieparzystości rozkładu \(\displaystyle{ N(1,0)=2f _{x}(1)}\)
Na przykładach dyskretnych takie rozumowanie jest na pewno poprawne, zastanawiam się czy na ciągłych też bo formalnie P(X=1)=0.

Co do całki to obawiam się że wyszła poprawna, przy całkowaniu w zwykłym kalkulatorze
\(\displaystyle{ \int_{0,000001}^{1000}f(x)=0,9992021156....}\)
Jeżeli jednak wszystko jest błędne ma ktoś może pomysł dlaczego takie wyprowadzenie mogłoby być niepoprawne?
SlotaWoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 758 razy

Rozkład normalny - błąd

Post autor: SlotaWoj »

Chwilowo korzystam z cudzego komputera, więc nie mam „swoich” narzędzi obliczeniowych i jeszcze raz sprawdzę ww. całkowanie. Możliwe, że się pomyliłem.

Powtórnie numerycznie scałkowałem. Wyszło:
  • \(\displaystyle{ \int_{0,000000001}^{1259} \frac{ e^{- \frac{t}{2} } }{ \sqrt{2 \pi t}} \ dt = 1,00884725
    \quad \hbox{Excel oblicza} \quad f_y(t>1259) = 0}\)
WolframAlpha podał mi wartość ww. całki jako 0,999975

Dodatkowo potwierdził, że:
  • \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty} \frac{ e^{- \frac{t}{2} } }{ \sqrt{2 \pi t}} \ dt = 1}\)
więc jest OK.
garrincha94
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 10 lip 2014, o 19:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1 raz

Rozkład normalny - błąd

Post autor: garrincha94 »

o to świetnie, dziękuje za sprawdzenie, zakładając w takim razie że to wyprowadzenie jest poprawne zastanawiam się czemu jest nieprawdą że:

\(\displaystyle{ f _{y}(1)=P(Y=1)=P(X ^{2} =1)=P(X=-1 \vee X=1)=f _{x}(-1)+f_{x}(1)= \hbox{z nieparzystości rozkładu N(1,0)} =2f _{x}(1)}\)

bo podstawiając pod uzyskane wzory dostaję, że \(\displaystyle{ f _{x} (1)=f _{y} (1)}\)
Ostatnio zmieniony 18 sty 2015, o 20:44 przez garrincha94, łącznie zmieniany 1 raz.
SlotaWoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 758 razy

Rozkład normalny - błąd

Post autor: SlotaWoj »

Prawdopodobieństwo jest całką z funkcji jego gęstości i z definicji:
  • \(\displaystyle{ P(Y=1) = \int_{1}^{1} f_y(t) \ dt = \int_{0}^{1} f_y(t) \ dt - \int_{0}^{1} f_y(t) \dt = 0}\)
Tak jest zawsze, gdy szerokość przedziału całkowania jest równa 0.

Ważne: Wysłałem PW do Garrincha94 i proszę go o jej przeczytanie.
garrincha94
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 10 lip 2014, o 19:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1 raz

Rozkład normalny - błąd

Post autor: garrincha94 »

to może inaczej, ile wynosi \(\displaystyle{ f _{y}(0)}\) ? Po prostu 0 ?
SlotaWoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 758 razy

Rozkład normalny - błąd

Post autor: SlotaWoj »

\(\displaystyle{ f_y(0)}\) jest nieokreślone, a \(\displaystyle{ \lim_{t \to 0 ^{+} } f_y(t) = \infty}\)
ODPOWIEDZ