Rozkład normalny - błąd
-
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 10 lip 2014, o 19:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 1 raz
Rozkład normalny - błąd
Witam, nie mogę zrozumieć pewnej rzeczy bądź mam błąd w rozumowaniu:
Niech zmienna losowa X~N(0,1), Wyznacz rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=X^{2}}\)
Najpierw wyznaczam dystrybuantę (dla t>0):
\(\displaystyle{ F _{y}(t)=P(Y<t)=P( X^{2}<t )=P( -\sqrt{t} <X< \sqrt{t} )=F _{x}( \sqrt{t})-F _{x} (- \sqrt{t} )=2 F _{x} ( \sqrt{t} )-1}\)
Następnie ją różniczkuję:
\(\displaystyle{ f _{y} (x)=2F' _{x} ( \sqrt{x} )=2 f _{x}( \sqrt{x} )\frac{1}{2 \sqrt{x} }= 2 \frac{1}{ \sqrt{2 \pi }} e^{- \frac{x}{2} } \frac{1}{2 \sqrt{x} }= \frac{ e^{- \frac{x}{2} } }{ \sqrt{2 \pi x} }}\)
Gdy x zbliża się do zera ostatnia wartość dąży do \(\displaystyle{ \infty}\) a jednocześnie\(\displaystyle{ f _{y}(0)=f _{x} (0)= \frac{1}{ \sqrt{2 \pi } }}\)
Funkcja gęstości jest w takim razie nieciągła?
Niech zmienna losowa X~N(0,1), Wyznacz rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=X^{2}}\)
Najpierw wyznaczam dystrybuantę (dla t>0):
\(\displaystyle{ F _{y}(t)=P(Y<t)=P( X^{2}<t )=P( -\sqrt{t} <X< \sqrt{t} )=F _{x}( \sqrt{t})-F _{x} (- \sqrt{t} )=2 F _{x} ( \sqrt{t} )-1}\)
Następnie ją różniczkuję:
\(\displaystyle{ f _{y} (x)=2F' _{x} ( \sqrt{x} )=2 f _{x}( \sqrt{x} )\frac{1}{2 \sqrt{x} }= 2 \frac{1}{ \sqrt{2 \pi }} e^{- \frac{x}{2} } \frac{1}{2 \sqrt{x} }= \frac{ e^{- \frac{x}{2} } }{ \sqrt{2 \pi x} }}\)
Gdy x zbliża się do zera ostatnia wartość dąży do \(\displaystyle{ \infty}\) a jednocześnie\(\displaystyle{ f _{y}(0)=f _{x} (0)= \frac{1}{ \sqrt{2 \pi } }}\)
Funkcja gęstości jest w takim razie nieciągła?
-
- Użytkownik
- Posty: 4211
- Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków PL
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 758 razy
Rozkład normalny - błąd
Na końcu wyprowadzenia pochodnej z zasady powinno być:
Przecież wyznaczasz rozkład zmiennej \(\displaystyle{ Y}\) dla \(\displaystyle{ t > 0}\) więc \(\displaystyle{ f_y(0)}\) nie istnieje i nie ma mowy o ciągłości. Tylko \(\displaystyle{ f_y(1)=f_x(1)}\), a po za tym gęstości obu rozkładów są zawsze różne. To że \(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} f_y(t) = \infty}\) oznacza jedynie, że styczna do początku dystrybuanty jest pionowa.
- \(\displaystyle{ ...\ }= \frac{ e^{- \frac{\left| x \right|} {2} } }{ \sqrt{2 \pi x} }}\)
Przecież wyznaczasz rozkład zmiennej \(\displaystyle{ Y}\) dla \(\displaystyle{ t > 0}\) więc \(\displaystyle{ f_y(0)}\) nie istnieje i nie ma mowy o ciągłości. Tylko \(\displaystyle{ f_y(1)=f_x(1)}\), a po za tym gęstości obu rozkładów są zawsze różne. To że \(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} f_y(t) = \infty}\) oznacza jedynie, że styczna do początku dystrybuanty jest pionowa.
-
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 10 lip 2014, o 19:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 1 raz
Rozkład normalny - błąd
Nie powinno być tak że \(\displaystyle{ f _{y}(1)=f _{x}(1)+f _{x}(-1)=2f _{x}(1)}\) ?
-
- Użytkownik
- Posty: 4211
- Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków PL
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 758 razy
Rozkład normalny - błąd
Zgodnie z Twoim wyprowadzeniem jest (po przekształceniach):
- \(\displaystyle{ \int_{0}^{y} f_y(t) dt = 2 \int_{0}^{ \sqrt{y} } f_x(t) dt}\) ,
- \(\displaystyle{ f_y(1)=2f_x(1)}\)
- \(\displaystyle{ \int_{0}^{0,2580} \frac{ e^{- \frac{t}{2} } }{ \sqrt{2 \pi t}} \ dt > 1 \quad \hbox{i} \quad \int_{0}^{10} \frac{ e^{- \frac{t}{2} } }{ \sqrt{2 \pi t}} \ dt \approx 1,60}\)
- \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty} \frac{ e^{- \frac{t}{2} } }{ \sqrt{2 \pi t}} \ dt \approx 1}\)
Ostatnio zmieniony 18 sty 2015, o 14:09 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 10 lip 2014, o 19:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 1 raz
Rozkład normalny - błąd
To prawda, jedno z drugiego nie wynika ale nie pisałem że powinno, rozumowałem tak żeZgodnie z Twoim wyprowadzeniem jest (po przekształceniach):
\(\displaystyle{ \int_{0}^{y} f_y(t) dt = 2 \int_{0}^{ \sqrt{y} } f_x(t) dt}\)
a to wcale nie oznacza, że:
\(\displaystyle{ f_y(1)=2f_x(1)}\)
\(\displaystyle{ f _{y}(1)=P(Y=1)=P(X ^{2} =1)=P(X=-1 \vee X=1)=f _{x}(-1)+f_{x}(1)=}\) z nieparzystości rozkładu \(\displaystyle{ N(1,0)=2f _{x}(1)}\)
Na przykładach dyskretnych takie rozumowanie jest na pewno poprawne, zastanawiam się czy na ciągłych też bo formalnie P(X=1)=0.
Co do całki to obawiam się że wyszła poprawna, przy całkowaniu w zwykłym kalkulatorze
\(\displaystyle{ \int_{0,000001}^{1000}f(x)=0,9992021156....}\)
Jeżeli jednak wszystko jest błędne ma ktoś może pomysł dlaczego takie wyprowadzenie mogłoby być niepoprawne?
-
- Użytkownik
- Posty: 4211
- Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków PL
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 758 razy
Rozkład normalny - błąd
Chwilowo korzystam z cudzego komputera, więc nie mam „swoich” narzędzi obliczeniowych i jeszcze raz sprawdzę ww. całkowanie. Możliwe, że się pomyliłem.
Powtórnie numerycznie scałkowałem. Wyszło:
Dodatkowo potwierdził, że:
Powtórnie numerycznie scałkowałem. Wyszło:
- \(\displaystyle{ \int_{0,000000001}^{1259} \frac{ e^{- \frac{t}{2} } }{ \sqrt{2 \pi t}} \ dt = 1,00884725
\quad \hbox{Excel oblicza} \quad f_y(t>1259) = 0}\)
Dodatkowo potwierdził, że:
- \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty} \frac{ e^{- \frac{t}{2} } }{ \sqrt{2 \pi t}} \ dt = 1}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 10 lip 2014, o 19:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 1 raz
Rozkład normalny - błąd
o to świetnie, dziękuje za sprawdzenie, zakładając w takim razie że to wyprowadzenie jest poprawne zastanawiam się czemu jest nieprawdą że:
\(\displaystyle{ f _{y}(1)=P(Y=1)=P(X ^{2} =1)=P(X=-1 \vee X=1)=f _{x}(-1)+f_{x}(1)= \hbox{z nieparzystości rozkładu N(1,0)} =2f _{x}(1)}\)
bo podstawiając pod uzyskane wzory dostaję, że \(\displaystyle{ f _{x} (1)=f _{y} (1)}\)
\(\displaystyle{ f _{y}(1)=P(Y=1)=P(X ^{2} =1)=P(X=-1 \vee X=1)=f _{x}(-1)+f_{x}(1)= \hbox{z nieparzystości rozkładu N(1,0)} =2f _{x}(1)}\)
bo podstawiając pod uzyskane wzory dostaję, że \(\displaystyle{ f _{x} (1)=f _{y} (1)}\)
Ostatnio zmieniony 18 sty 2015, o 20:44 przez garrincha94, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 4211
- Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków PL
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 758 razy
Rozkład normalny - błąd
Prawdopodobieństwo jest całką z funkcji jego gęstości i z definicji:
Ważne: Wysłałem PW do Garrincha94 i proszę go o jej przeczytanie.
- \(\displaystyle{ P(Y=1) = \int_{1}^{1} f_y(t) \ dt = \int_{0}^{1} f_y(t) \ dt - \int_{0}^{1} f_y(t) \dt = 0}\)
Ważne: Wysłałem PW do Garrincha94 i proszę go o jej przeczytanie.
-
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 10 lip 2014, o 19:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 1 raz