Witam, przedstawię tu zadanie z rozwiązaniem i proszę o odpowiedź na kilka pytań:
Niech \(\displaystyle{ X_1,X_2,\ldots}\) będą zmiennymi losowymi niezależnymi o rozkładzie wykładniczym z parametrem 2. Niech \(\displaystyle{ N}\) będzie zmienną niezależną od \(\displaystyle{ X_i}\) o rozkładzie Poissona z parametrem 1. Niech
\(\displaystyle{ K_N= \begin{cases} \max(X_1,\ldots,X_N)\hspace{1cm}N>0 \\ 0\hspace{1cm}N=0 \end{cases}}\).
Oblicz \(\displaystyle{ \mathbb{E}[K_N]}\).
Moje rozwiązanie (głównie chodzi mi o początek rozumowania):
Obliczmy najpierw warunkową wartość oczekiwaną, a potem skorzystajmy z podwójnego warunkowania (tak to się chyba nazywa).
\(\displaystyle{ \mathbb{E}[K_N|N=n]=\mathbb{E}[\max(X_1,\ldots,X_N)|N=n]=\mathbb{E}[\max(X_1,\ldots,X_n)]=\ldots}\) Dalej to już pójdzie... Jeśli to jest dobrze, czy jest?
Mam też takie pytanie, jaki rozkład ma zmienna \(\displaystyle{ K_N}\)? Dyskretny czy absolutnie ciągły? Myślę, że absolutnie ciągły.
\(\displaystyle{ K_N}\) ma rozkład dany klamrą. Jak zapatrywać się na \(\displaystyle{ N=0}\)? Czy rozpatrzeć tu dwa przypadki i dla \(\displaystyle{ N=0}\) liczyć oddzielnie?