Moment stopu (martyngały)

[myszka9]

\(\displaystyle{ T}\) jest momentem stopu. Czy stąd wynika, że momentem stopi jest :
a) \(\displaystyle{ T+1}\)
b) \(\displaystyle{ T-1}\)
c) \(\displaystyle{ T^2}\)
Rozważ \(\displaystyle{ T=\NN}\) i \(\displaystyle{ T=\NN \cup \infty}\)
ROZWIĄZANIE :
a)
\(\displaystyle{ \{T \le t\} \in F_t \\
\{T +1 \le t \} \in F_t (?) \\
\{T \le t-1 \le t \} \in F_t}\)

tak

b) podobne rozumowanie : nie
c) brak pomysłu

Czy jeśli za \(\displaystyle{ n=\infty}\) to czy w przypadku \(\displaystyle{ b)}\) odpowiedź również będzie tak?
Proszę o pomoc

[tortoise]

(1) jest ok.

(3) raczej nie jest, bo można znaleźć kontrprzykład.

Weźmy \(\displaystyle{ \Omega=[0,1]}\) oraz filtrację:

\(\displaystyle{ F_t= \begin{cases}\{\emptyset,\Omega\} &\text{dla } t\in [0,\frac{1}{2}) \\2^{\Omega} &\text{dla } t\in [\frac{1}{2},1] \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ T(x) = egin{cases} frac{1}{2}+x & ext{dla } x in [0,frac{1}{2}) \1 & ext{dla } x ge frac{1}{2} end{cases}}\)

Mamy wtedy:
\(\displaystyle{ \{T \le \frac{1}{4}\} = \emptyset \in F_{\frac{1}{4}}}\)

A dla kwadratu T:
\(\displaystyle{ \{T^2 \le \frac{1}{4} \} = \{T\le\frac{1}{2} \} = \{0\} \not\in F_{\frac{1}{4}}}\)

Pozdrawiam.

[myszka9]

No ale w sumie
\(\displaystyle{ \{T^2 \le t\} = \{T \le \sqrt{t} \} \in F_{\sqrt{t}} \subset F_t}\)

[tortoise]

Na pewno? Weźmy \(\displaystyle{ t=\frac{1}{4}}\). Wtedy \(\displaystyle{ \sqrt{t}=\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{t}>t,}\) więc taka inkluzja nie zajdzie.

[myszka9]

ale w treści zadania \(\displaystyle{ T= \NN}\) lub \(\displaystyle{ T = \NN \cup \infty}\)