Niech \(\displaystyle{ \alpha_0, ..., \alpha_n}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi, przyjmującymi jedynie wartości całkowite. Załóżmy, że zmienna \(\displaystyle{ \alpha_0}\) ma rozkład \(\displaystyle{ q_0}\) , natomiast zmienne \(\displaystyle{ \alpha_1,.., \alpha_n}\) mają wspólny rozkład \(\displaystyle{ q}\).
Niech \(\displaystyle{ X_0= \alpha_0}\)
\(\displaystyle{ X_{n+1}=X_n+ \alpha_{n+1}}\)
Sprawdź czy zmienne tworzą łańcuch Markowa.
Rozwiązanie : Należy sprawdzić czy \(\displaystyle{ P(X_{n+1}|X_0,...,X_n)=P(X_{n+1}|X_n)}\)
\(\displaystyle{ P(X_{n+1}=X_n+ \alpha _{n+1}|X_0= \alpha_0,...,X_n= \sum_{i=0}^{n} \alpha_i)= \\ P(X_{n+1} = \sum_{i=0}^{n+1} \alpha_i | X_0= \alpha_0, ..., X_n= \sum_{i=0}^{n} \alpha_i) = \\}\)
niezależność
\(\displaystyle{ P( \alpha_0| \alpha_0,...,\sum_{i=0}^{n} \alpha_i)+...+P( \alpha_{n+1}| \alpha_0,...,\sum_{i=0}^{n} \alpha_i)}\)
Skoro \(\displaystyle{ \alpha _{i}}\) nie występuje w \(\displaystyle{ X _{i-1}}\) to to przejście wydaje się dosyć rozsądne:
\(\displaystyle{ P( \alpha_0| \alpha_0,...,\sum_{i=0}^{n} \alpha_i)+P( \alpha_1| \alpha_0+\alpha_1, \alpha_0+ \alpha_1+ \alpha_2,..., \sum_{i=0}^{n} \alpha_n)+ ...+P( \alpha_{n+1}| \sum_{i=0}^{n} \alpha_i)}\)
Ale co dalej?