Wartość oczekiwana bez wyznaczania rozkładu zmiennej losowej

[elbargetni]

Mam zmienną losową \(\displaystyle{ X}\) o gęstości \(\displaystyle{ f(x)=\frac{2}{\pi^2}x}\) dla \(\displaystyle{ x \in [0, \pi]}\) oraz \(\displaystyle{ f(x) = 0}\) poza tym.
Zmienna losowa \(\displaystyle{ Y=cosX}\). Obliczyć \(\displaystyle{ EY}\) bez wyznaczania rozkładu zmiennej losowej Y.

Próbując nawet wyznaczyć ten rozkład i tak nie udało mi się dobrać do \(\displaystyle{ EY}\), bo trudna całka wychodzi, ale nie mam pomysłu jak to zrobić bez wyznaczania tego rozkładu.

[miodzio1988]

wlasciwosci

[elbargetni]

Liczę więc:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\pi} \frac{2}{\pi^2} \cdot cosx dx}\)
Wychodzi mi: \(\displaystyle{ -\frac{4}{\pi^2}}\)
W odpowiedziach jest:
\(\displaystyle{ \frac{2\pi-4}{\pi^2}}\)

[miodzio1988]

A \(\displaystyle{ x}\)-sa nie zjadles?

[elbargetni]

Zjadłem, ale wynik mój jest dobry, na wolframie sprawdziłem, zatem chyba w odpowiedzi coś jest nie tak, jeżeli mój sposób jest poprawny.