Wartość oczekiwana i wariancja

[damianosk]

Cześć,
na ćwiczeniach nie robiliśmy takich zadań, a w przykładowych kolokwiach są. Mógłby ktoś rzucić okiem i podpowiedzieć jak to rozwiązać?

Zastawa w restauracjach okazuje się mieć krótki żywot. Student WZ, odbywający praktykę ustalił, że z każdym użyciem filiżanki wiąże się stałe prawdopodobieństwo p=0,167 jej uszkodzenia (uszkodzona filiżanka zostaje wyrzucona). Zakładamy,że poszczególne przypadki użycia filiżanek są od siebie niezależne. Niech X oznacza liczbę przypadków użyci nowej filiżanki. Wyznacz jej wartość oczekiwaną
i odchylenie standardowe.

[lukasz1804]

Jako \(\displaystyle{ \NN}\) przyjmujemy zbiór liczb całkowitych dodatnich.

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ n\in\NN}\), gdy \(\displaystyle{ n-1}\) początkowych użyć filiżanki nie kończy się jej stłuczeniem, a dopiero przy \(\displaystyle{ n}\)-tym jej użyciu dochodzi do uszkodzenia.

Zatem rozkład zmiennej \(\displaystyle{ X}\) można wyrazić następująco:

\(\displaystyle{ P(X=n)=p(1-p)^{n-1}}\) dla \(\displaystyle{ n\in\NN}\).

Stąd wynika, że \(\displaystyle{ EX=\sum_{n\in\NN}nP(X=n)=p\sum_{n\in\NN}n(1-p)^{n-1}}\). Aby obliczyć sumę tego szeregu, skorzystaj z pochodnej szeregu geometrycznego.

Dalej \(\displaystyle{ EX^2=\sum_{n\in\NN}n^2P(X=n)=\frac{p}{1-p}\sum_{n\in\NN}n^2(1-p)^{n-2}=\frac{p}{1-p}\sum_{n\in\NN}n(n-1)(1-p)^{n-2}+p\sum_{n\in\NN}n(1-p)^{n-1}=\frac{p}{1-p}\sum_{n\in\NN}n(n-1)(1-p)^{n-2}+EX}\) oraz \(\displaystyle{ DX=\sqrt{EX^2-(EX)^2}}\).

[damianosk]

Dzięki za odpowiedź,

czy można to zrobić w ten sposób:

\(\displaystyle{ E(x)= \frac{1}{p} = \frac{1}{0,167} =6}\)
\(\displaystyle{ V(x)= \frac{q}{ p^{2} }= \frac{1-0,167}{ 0,167^{2} }=29,86}\)