Definicja warunkowej wartości oczekiwanej

[manonim]

Def.
\(\displaystyle{ X: Q \rightarrow \RR}\) całkowalna zmienna losowa na \(\displaystyle{ (Q,B,P) , F \subseteq B \sigma}\) -ciało. Warunkową wartością oczekiwaną \(\displaystyle{ X}\) pod warunkiem \(\displaystyle{ \sigma}\) - ciała \(\displaystyle{ F}\) nazywamy \(\displaystyle{ F}\) mierzalną zm losową \(\displaystyle{ E(X|F)}\)spełniającą warunek :
\(\displaystyle{ \int_f E(X|F)dP= \int_f X dP}\) dla\(\displaystyle{ f \in F}\)

Zastanawia mnie ciągle jedna rzecz, czy \(\displaystyle{ X}\) jest \(\displaystyle{ F}\) mierzalna?
Wydaje mi się, że tak, bo \(\displaystyle{ Q}\) jest \(\displaystyle{ F}\) mierzalna, a jej przeciwobrazy są \(\displaystyle{ F}\) mierzalne z definicji zmiennej losowej.

Dobrze myślę?

[Adifek]

\(\displaystyle{ X}\) nie musi być (i zwykle nie jest) \(\displaystyle{ F}\)-mierzalna. Jeśli bowiem jest \(\displaystyle{ F}\)-mierzalna, to \(\displaystyle{ \mathbb{E}(X|F) = X \ p. n.}\), więc warunkowanie nic wtedy nie wnosi.

PS. Nie wiem co miałoby znaczyć, że \(\displaystyle{ Q}\) (czyli cała przestrzeń, a nie zmienna losowa) jest \(\displaystyle{ F}\)-mierzalna

[manonim]

No właśnie z tym się kłóci to moje rozumowanie, więc dlatego napisałam ten post ;/.
Jaki błąd jest w takim razie w moim uzasadnieniu?

-- 14 sty 2015, o 15:43 --

\(\displaystyle{ Q \in F}\) miało być

-- 14 sty 2015, o 15:44 --

Ale to nie jest prawda-- 14 sty 2015, o 15:46 --\(\displaystyle{ Q}\) jest tylko zbiorem
\(\displaystyle{ B}\) jest sigma ciałem podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ Q}\), a \(\displaystyle{ F}\) sigma podzbiorem \(\displaystyle{ B}\), tak?

[Adifek]

Z definicji zmiennej losowej masz, że \(\displaystyle{ X}\) jest \(\displaystyle{ B}\)-mierzalna. Nic więcej. Dla \(\displaystyle{ F \subset B}\) już nic nie wiesz. Znalezienie takiej zmiennej losowej, która jest mierzalna względem jakiegoś sigma-ciała, a względem pod-sigma-ciała już nie, jest prostym ćwiczeniem.

[manonim]

\(\displaystyle{ \sigma(A)=\{A,A',Q, \emptyset\}}\)
\(\displaystyle{ X: A \subset Q \rightarrow \RR \\}\)
X jest \(\displaystyle{ A}\) - mierzalna.

\(\displaystyle{ \{Q, \emptyset\} \subset \sigma(A)}\)
\(\displaystyle{ X}\) nie jest-mierzalna względem wyżej wypisanego \(\displaystyle{ \sigma}\) - ciała, dobrze?

[Everard]

Niestety nie. To co napisałaś nie ma większego sensu - co to znaczy że Twoja funkcja idzie tylko z podzbioru dziedziny?

Niech \(\displaystyle{ \Omega=\{0,1\}, A=\{0\}, X(0)=0, X(1)=1.}\)

Widać wtedy, że \(\displaystyle{ X}\) jest mierzalna względem sigma ciała generowanego przez \(\displaystyle{ A}\) (bo tym sigma ciałem będą po prostu wszystkie podzbiory \(\displaystyle{ \Omega}\)). Ale:
\(\displaystyle{ \{X\ge \frac12\}=\{1\}\notin \{\emptyset, \Omega\},}\)
więc \(\displaystyle{ X}\) nie jest mierzalna względem sigma ciała \(\displaystyle{ \{\emptyset, \Omega\}}\) (jedyne funkcje mierzalne względem takiego sigma ciała to funkcje stałe).

W przypadku dyskretnym warunkową wartość oczekiwaną najłatwiej zrozumieć tak, że Twoja warunkowa wartość oczekiwana musi mieć stałe wartości na argumentach należących do zbioru z sigma ciała po którym warunkujesz. Zatem jeśli np. do Twojego sigma ciała należy zbiór \(\displaystyle{ \{1,2\}}\), ale nie należą już zbiory \(\displaystyle{ \{1\},\{2\}}\), to warunkowa wartość oczekiwana po tym sigma ciele musiałaby być funkcją o tej samej wartości w punktach \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 2}\).

[manonim]

Nie rozumiem błędu w moim rozumowaniu.
Ten przykład który napisałeś, jest szczególnym przypadkiem tego co ja napisałam.
Co nieprawidłowego jest w tym przykładzie?

[Adifek]

Błędem w Twoim rozumowaniu jest, że funkcja \(\displaystyle{ X:A \subset Q \rightarrow \mathbb{R}}\) nie jest funkcją \(\displaystyle{ Q \rightarrow \mathbb{R}}\). Pierwszy rok się kłania.

[manonim]

Ok, fakt, a jeśli dziedzinę zamienię na \(\displaystyle{ Q}\) , to czy jest w porządku?

[Adifek]

Nie. To w zasadzie nie ma większego sensu. Piszesz, ze jest \(\displaystyle{ A}\)- mierzalna a trzy linijki niżej, że już nie jest.

[Everard]

W Twoim przykładzie nie ma nawet definicji funkcji - jedynie jej dziedzina (niepoprawna) i przeciwdziedzina. Zatem nie ma sensu mówić o jakiejkolwiek mierzalności...

[manonim]

Znaczy chodziło mi, że nie jest mierzalna względem \(\displaystyle{ \sigma}\) - ciała \(\displaystyle{ \{Q,\emptyset\}}\) .
Ok, chciałam zrobić baaaardzo ogólny przykład, Everard to co Ty napisałeś jest poszukiwanym przykładem? O czymś taki myślałam właśnie, tylko chciałam to uogólnić i nie wyszło.

[Everard]

Podałem chyba najprostszy możliwy przykład dwóch sigma ciał i funkcji mierzalnej względem jednego, ale nie względem drugiego.

Sęk w tym że Ty nie podałaś żadnego przykładu - Ty jedynie napisałaś "funkcja idąca z \(\displaystyle{ A}\) do \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)" - jest bardzo ważne, abyś zrozumiała dlaczego (nawet abstrahując od tego że jest to niepoprawne) to nie jest dobry przykład ani nawet przykład w ogóle! Jest ogromna różnica pomiędzy zrobieniem "ogólnego przykładu" a tym, co Ty zrobiłaś. Prawdopodobnie najogólniejszy-ale-jeszcze-możliwy-do-strawienia przykład wyglądałby mniej więcej tak:

Niech \(\displaystyle{ \mathcal{F}\supset \mathcal{G}}\) będą dwoma różnymi sigma ciałami nad zbiorem \(\displaystyle{ \Omega}\) i niech \(\displaystyle{ A\in \mathcal{F}\setminus\mathcal{G}}\). Wówczas funkcja \(\displaystyle{ X=c\textbf{1}_{A}+d\textbf{1}_{\Omega\setminus A}}\), gdzie \(\displaystyle{ c^2+d^2>0}\), jest \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\)-mierzalna, ale nie jest \(\displaystyle{ \mathcal{G}}\)-mierzalna.

Oczywiście taki przykład jest przesadnie skomplikowany, ale zauważ że nawet w nim pojawia się wzór na funkcję \(\displaystyle{ X}\)!