Witam
Chciałbym spróbować udowodnić, że \(\displaystyle{ \phi_{x}(-t) = \overline{\phi_{x}(t)}}\).
Okej to może pokażę, co udało mi się samemu zrobić
Funkcja charakterystyczna: \(\displaystyle{ \phi_{x}(t)= \mathbb{E}\left[ e^{itX}\right]}\)
Pokazać mamy, że:
\(\displaystyle{ \overline{\phi_{x}(t)}=\mathbb{E}\left[ e^{itX}\right]}\)
\(\displaystyle{ \phi_{x}(-t) \Rightarrow \mathbb{E}\left[ e^{-itX}\right] \Rightarrow \mathbb{E}costX-i\mathbb{E}sintX \Rightarrow \overline{\mathbb{E}costX+i\mathbb{E}sintX} \Rightarrow \overline{\phi_{x}(-t)}}\)
Jeżeli jest źle to poproszę o jakieś wskazówki.
Wlasnosci funkcji charakterystycznej
-
- Użytkownik
- Posty: 1567
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 398 razy
Wlasnosci funkcji charakterystycznej
Z grubsza dobrze, ale te strzałki są idiotyczne. Ja bym jednak to zrobił bez rozbijania:
\(\displaystyle{ \overline{ \phi (t)} = \overline{ \mathbb{E}e^{itX} } =\mathbb{E}\overline{e^{itX}} = \mathbb{E}e^{-itX}= \phi(-t)}\)
\(\displaystyle{ \overline{ \phi (t)} = \overline{ \mathbb{E}e^{itX} } =\mathbb{E}\overline{e^{itX}} = \mathbb{E}e^{-itX}= \phi(-t)}\)