Wlasnosci funkcji charakterystycznej

[akermann1]

Witam

Chciałbym spróbować udowodnić, że \(\displaystyle{ \phi_{x}(-t) = \overline{\phi_{x}(t)}}\).

Okej to może pokażę, co udało mi się samemu zrobić

Funkcja charakterystyczna: \(\displaystyle{ \phi_{x}(t)= \mathbb{E}\left[ e^{itX}\right]}\)

Pokazać mamy, że:

\(\displaystyle{ \overline{\phi_{x}(t)}=\mathbb{E}\left[ e^{itX}\right]}\)

\(\displaystyle{ \phi_{x}(-t) \Rightarrow \mathbb{E}\left[ e^{-itX}\right] \Rightarrow \mathbb{E}costX-i\mathbb{E}sintX \Rightarrow \overline{\mathbb{E}costX+i\mathbb{E}sintX} \Rightarrow \overline{\phi_{x}(-t)}}\)

Jeżeli jest źle to poproszę o jakieś wskazówki.

[Adifek]

Z grubsza dobrze, ale te strzałki są idiotyczne. Ja bym jednak to zrobił bez rozbijania:

\(\displaystyle{ \overline{ \phi (t)} = \overline{ \mathbb{E}e^{itX} } =\mathbb{E}\overline{e^{itX}} = \mathbb{E}e^{-itX}= \phi(-t)}\)