Ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{x \in \ZZ:\left|x\right| \le50 \right\}}\) losujemy bez zwracania 2 liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\). Prawdopodobieństwo zdarzenia że wylosowane liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) spełniają nierówność:
\(\displaystyle{ \left( a-1\right)\left( b-1\right)\left( a^{2}-1 \right)\left( b^{2}-1 \right)...\left( a ^{1000}-1 \right)\left( b^{1000}-1 \right) <0}\)
\(\displaystyle{ a) < \frac{1}{100}}\)
\(\displaystyle{ b) = \frac{49}{101}}\)
\(\displaystyle{ c) =0}\)
\(\displaystyle{ d) = \frac{51}{101}}\)
Prawdopodobieństwo że wylosowane liczby spełniają nierówność
-
sebnorth
- Użytkownik
- Posty: 635
- Rejestracja: 12 sty 2011, o 16:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
- Pomógł: 201 razy
Prawdopodobieństwo że wylosowane liczby spełniają nierówność
rozważmy funkcję \(\displaystyle{ f(a) = (a-1)(a^2 - 1)\cdot \ldots \cdot (a^{1000} - 1), \; |a| \leq 50}\)
\(\displaystyle{ g(a,b)}\) - lewa strona nierówności w zadaniu
\(\displaystyle{ g(a,b) = f(a)f(b)}\)
Zauważmy, że
\(\displaystyle{ f(0) = 1, f(1) = 0, f(-1) = 0,}\)
\(\displaystyle{ f(x) > 0}\) dla \(\displaystyle{ x \geq 2}\)
jeśli \(\displaystyle{ x \leq -2}\) to
\(\displaystyle{ x^{k} - 1 < 0}\) dla \(\displaystyle{ k=1,3,5, \ldots 999}\)
\(\displaystyle{ x^{k} - 1 > 0}\) dla \(\displaystyle{ k = 2,4,6, \ldots, 1000}\)
zatem \(\displaystyle{ f(x) > 0}\)
nie ma takich a,b, żeby g(a,b) < 0
według mnie c) \(\displaystyle{ 0}\)
\(\displaystyle{ g(a,b)}\) - lewa strona nierówności w zadaniu
\(\displaystyle{ g(a,b) = f(a)f(b)}\)
Zauważmy, że
\(\displaystyle{ f(0) = 1, f(1) = 0, f(-1) = 0,}\)
\(\displaystyle{ f(x) > 0}\) dla \(\displaystyle{ x \geq 2}\)
jeśli \(\displaystyle{ x \leq -2}\) to
\(\displaystyle{ x^{k} - 1 < 0}\) dla \(\displaystyle{ k=1,3,5, \ldots 999}\)
\(\displaystyle{ x^{k} - 1 > 0}\) dla \(\displaystyle{ k = 2,4,6, \ldots, 1000}\)
zatem \(\displaystyle{ f(x) > 0}\)
nie ma takich a,b, żeby g(a,b) < 0
według mnie c) \(\displaystyle{ 0}\)