wyznaczyć ciąg

[Yelon]

Dany jest ciąg geometryczny \(\displaystyle{ \left( p _{k}\right) _{k=1}^{ \infty }}\). Niech zmienna losowa X ma rozkład \(\displaystyle{ P(X=k) = p _{k}}\) dla \(\displaystyle{ k=1, 2, 3,..}\). Wiadomo, że \(\displaystyle{ EX=a \wedge EX^2=b}\). Wyznaczyć \(\displaystyle{ p _{k}}\) za pomocą \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).

Doszedłem tylko do tego, że dla zmiennej losowej X mamy \(\displaystyle{ P(X=k) = (p-1) ^{k-1}p}\) oraz \(\displaystyle{ EX= \frac{1}{p}= a}\).
Jak znaleźć \(\displaystyle{ EX^2}\)? Trzeba by policzyć funkcję tworzącą prawdopobieństwo zmiennej losowej \(\displaystyle{ X^2}\) i z niej liczyć wartość oczekiwaną?

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ EX^2}\) mozesz wyznaczyc za pomoca pierwszego momentu i wariancji

[Yelon]

Czyli mam: \(\displaystyle{ D^2(X) = E(X^2) - (E(X))}\), gdzie \(\displaystyle{ D^2(X)}\) - wariancja.
i po podstawieniu mam: \(\displaystyle{ E(X^2) = \frac{1 -p}{p ^{2}} + \frac{1}{p ^{2}} = \frac{2-p}{p ^{2}} = b}\)

Ale w sumie po co mi to \(\displaystyle{ b}\)? Skoro już samym a mógłbym podstawić i byłoby \(\displaystyle{ x _{k}= (1-\frac{1}{a}) ^{k-1}\frac{1}{a}}\)?

edit; wykorzystując obie literki mam \(\displaystyle{ p = \frac{2a}{a+b}}\) czyli \(\displaystyle{ x _{k} = \left( \frac{b-a}{b+a}\right) ^{k-1}\left( \frac{2a}{a+b}\right)}\). Jest dobrze?