Witam, proszę o pomoc w zadaniu.
Rozważmy sekwencje zero-jedynkowe o długości \(\displaystyle{ n}\) rozpoczynające się od \(\displaystyle{ x_{i} = 1}\), a kończące się na \(\displaystyle{ x_{n} = 0}\). Załóżmy, że \(\displaystyle{ P(x_{i} = 1) = p}\). Jaka jest oczekiwana długość najdłuższej podsekwencji jedynek?
Wiadomo, że:
\(\displaystyle{ x_{i} = 1}\)
\(\displaystyle{ x_{n} = 0}\)
oraz:
\(\displaystyle{ P(x_{i} = 1) = p \Rightarrow P(x_{i} = 0) =1 - p}\)
najdłuższa podsekwencja dla:
\(\displaystyle{ n=2}\) to \(\displaystyle{ 10}\)
\(\displaystyle{ n=3}\) to \(\displaystyle{ 110}\)
\(\displaystyle{ n=4}\) to \(\displaystyle{ 1110}\) itd.
możliwe są również krótsze sekwencje jedynek np. dla \(\displaystyle{ n=6}\) mamy \(\displaystyle{ 110000}\)
Wiem, że występuje tu prawdopodobieństwo warunkowe \(\displaystyle{ P(B \mid A)= \frac{P(A \cap B)}{P(A)}}\), gdzie:
\(\displaystyle{ P(A) = p}\)
\(\displaystyle{ P(B) = 1 - p}\)
Wartość oczekiwaną wyraża się przez \(\displaystyle{ EX = \sum_{i=1}^{n} x_{i}p_{i}}\)
Jak się do tego zabrać? jakiego wyniku mogę się spodziewać?
z góry dziękuję i pozdrawiam.