Proces Wienera

[kryg196]

Cześć, mam problem z następującym zadaniem:

Dany jest proces Wienera \(\displaystyle{ W_{t}}\) oraz proces \(\displaystyle{ X_{t} := W_{t} - W_{t-1} (t \ge 1)}\).
(a) czy proces \(\displaystyle{ X_{t}}\) jest stacjonarny w szerszym sensie?
(b) czy proces \(\displaystyle{ X_{t}}\) jest stacjonarny w ścisłym sensie?
(c) podać rozkład wektora \(\displaystyle{ (X_{2},X_{5})}\).

Nie mam pojęcia jak ruszyć te zadania, co powinienem liczyć, żeby odpowiedzieć na (a) oraz (b), wiem tylko, że jak proces jet stacjonarny w ścisłym sensie to jest także stacjonarny w szerokim sensie. Proszę o jakieś wskazówki

[Adifek]

Jakie są warunki na stacjonarność w szerszym i ścisłym sensie? Napisz je i zobacz, czy proces je spełnia. Jak nie będzie wychodzić, to pomożemy.

[kryg196]

Mam takie definicje:

1) Mówimy, że proces stochastyczny \(\displaystyle{ X(t)}\) jest stacjonarny w szerokim sensie jeżeli posiada stałą funkcję wartości oczekiwanej \(\displaystyle{ m(t):=\mathbb{E}X(t)}\) oraz funkcję kowariancji \(\displaystyle{ K(t,s):=cov(X_{t},X_{s})}\) zależną jedynie od \(\displaystyle{ |t-s|}\).

2) Proces stochastyczny \(\displaystyle{ (X(t))_{t\in\mathbb{T}}}\) nazywamy ściśle stacjonarnym, gdy dla dowolnych chwil \(\displaystyle{ t_{1},...,t_{n} \in\mathbb{T}}\) oraz dowolnego \(\displaystyle{ h\in\mathbb{T}}\) wektory losowe \(\displaystyle{ (X(t_{1}),...,X(t_{n}))}\) oraz \(\displaystyle{ (X(t_{1}+h),...,X(t_{n}+h))}\) mają jednakowe rozkłady.

ad.1)

Liczę \(\displaystyle{ \mathbb{E}(X_{t})=\mathbb{E}(W_{t})-\mathbb{E}(W_{t-1})=0-0=0}\)

\(\displaystyle{ cov(X_{t},X_{s})=\mathbb{E}((W_{t}-W_{t-1})\cdot(W_{s}-W_{s-1})) - \mathbb{E}(W_{t}-W_{t-1})\cdot\mathbb{E}(W_{s}-W{s-1})=}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{E}((W_{t}-W_{t-1})\cdot(W_{s}-W_{s-1})) - 0\cdot0=}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{E}((W_{t}-W_{t-1})\cdot(W_{s}-W_{s-1}))=\mathbb{E}(W_{t}\cdot W_{s})-\mathbb{E}(W_{t}\cdot W_{s-1})-\mathbb{E}(W_{t-1}\cdot W_{s})}\)\(\displaystyle{ +\mathbb{E}(W_{t-1}\cdot W_{s-1})=}\)

\(\displaystyle{ =min\lbrace t,s \rbrace-min\lbrace t,s-1\rbrace-min\lbrace t-1,s\rbrace+min \lbrace t - 1,s-1\rbrace=s-(s-1)-}\)\(\displaystyle{ s+(s-1)= ...0}\) ? namieszałem coś chyba

ad.2) nie wiem

ad.3) co do rozkładu tego wektora to:

\(\displaystyle{ W_{t}\sim N(0,t)}\)
\(\displaystyle{ W_{t-1}\sim N(0,t-1)}\)
\(\displaystyle{ W_{t}-W_{t-1}\sim N(0, 1)}\)
\(\displaystyle{ X_{2}:=W_{2}-W_{1}\sim N(0,1)}\)
\(\displaystyle{ X_{5}:=W_{5}-W_{4}\sim N(0,1)}\)
więc odp. rozkład \(\displaystyle{ N(0,1)}\)? nie wiem...

[Adifek]

ad 1)
\(\displaystyle{ ... = \min (t,s) - \min (t,s-1) - \min (t-1,s) + \min (t-1,s-1) = s -(s-1) - \min (t-1,s) + (s-1) = s-\min (t-1,s) = \begin{cases} s-t+1, \ dla \ t-s<1\\ s-s, \ dla \ t-s \ge 1 \end{cases} = \begin{cases} -|t-s|+1, \ dla \ |t-s|<1 \\ 0, \ dla \ |t-s| \ge 1 \end{cases} = f( | t-s | )}\)

[kryg196]

Mam inny sposób:

\(\displaystyle{ X_{t}:=W_{t}-W{t-1}}\) dla \(\displaystyle{ t\ge 1}\)

Proces jest stacjonarny w ścisłym sensie gdy \(\displaystyle{ X_{t}}\)oraz\(\displaystyle{ X_{t+h}}\) mają ten sam rozkład. Zatem:

\(\displaystyle{ X_{1}=W_{1}-W_{0} \sim N(0,1)}\)
\(\displaystyle{ X_{2}=W_{2}-W_{1} \sim N(0,1)}\)
.
.
.
\(\displaystyle{ X_{t}=W_{t}-W_{t-1} \sim N(0,t-t+1)}\)

\(\displaystyle{ X_{1+h}=W_{1+h}-W_{1+h-1} \sim N(0,1+h-1-h+1)}\)
.
.
.
\(\displaystyle{ X_{t+h}=W_{t+h}-W_{t+h-1} \sim N(0, t+h-t-h+1)}\)

Wszędzie mamy rozkład normalny \(\displaystyle{ N(0,1)}\) więc mamy stacjonarność w ścisłym sensie co implikuje, że mamy również stacjonarność w szerszym sensie.

Czy to jest dobrze??????

co do ad.3 nadal nie wiem

[Adifek]

To jest źle. Pisząc, że PROCES ma jakiś proces, musisz badać rozkład procesu, a nie pojedynczej zmiennej losowej. Z twierdzenia Kołmogorowa musisz zatem badać cięcia procesu, tj. zbadać, czy dla każdego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\) wektor \(\displaystyle{ (X_{t_1}, ...,X_{t_n})}\) ma taki sam rozkład \(\displaystyle{ n}\)-wymiarowy jak \(\displaystyle{ (X_{t_1+h}, ...,X_{t_n+h})}\).

Podobną głupotę napisałeś w ad. 3). Rozkład wektora nie może być \(\displaystyle{ N(0,1)}\). Bo co by to miało znaczyć?

[kryg196]

to jak powinno wyglądać to rozwiązanie?? Mógłbyś mi to rozpisać? Myślałem, że to już będzie ok, w takim razie nie czaje tego.

[Adifek]

Chcemy sprawdzić, czy proces \(\displaystyle{ (X_{t+h})_{t \ge 1}}\) ma taki sam rozkład jak \(\displaystyle{ (X_t)_{t \ge 1}}\).

Najpierw sprawdzimy, że są one gaussowskie.

\(\displaystyle{ (X_{t_1+h},...,X_{t_n+h}) = (W_{t_1+h}-W_{t_1+h-1},...,W_{t_n+h}-W_{t_n+h-1}) = \\ \\= (W_{t_1+h},...,W_{t_n+h}) -(W_{t_1+h-1},...,W_{t_n+h-1})}\)

\(\displaystyle{ (X_{t+h})_{t \ge 1}}\) jest więc gaussowski jako kombinacja liniowa dwóch procesów gaussowskich (gaussowskość procesu Wienera uznaję za oczywistą). Dokładnie ten sam argument przechodzi dla \(\displaystyle{ (X_t)_{t \ge 1}}\).

Następnie skorzystamy z faktu, że rozkład procesu gaussowskiego jest wyznaczony jednoznacznie przez jego funkcje średniej i kowariancji. Mamy więc:

\(\displaystyle{ \mathbb{E} X_{t+h} = 0 = \mathbb{E} X_{t}}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{E}( X_{t+h} X_{s+h} ) = ....
\\ \mathbb{E}( X_{t} X_{s} ) = ....}\)
(tutaj są takie obliczenia jak już wyżej przeprowadziliśmy <wręcz dokładnie takie same, łącznie z wynikiem> )

Ponieważ dwa procesy gaussowskie mają takie same funkcje średniej i kowariancji, to mają ten sam rozkład.

[kryg196]

dzięki wielkie za pomoc !!