Rozkład zmiennej losowej

[elbargetni]

Mam zmienną losową X o rozkładzie wykładniczym z parametrem \(\displaystyle{ \lambda}\), chcę wyznaczyć rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=\frac{1}{X}}\). Zaczynam tradycyjnie:
\(\displaystyle{ F_Y(y) = P(Y<y) = P(\frac{1}{X}<y) = ...}\)
i tutaj zaczyna się mój problem, bo nie wiem jaki znak ma X i y, nie wiem czy powinienem tu rozpatrywać przypadki, wiem, że muszę doprowadzić do postaci \(\displaystyle{ P(X<...)}\) lub \(\displaystyle{ P(X>...)}\), żeby móc przejść na dystrybuantę, mógłby ktoś mi wskazać drogę jak radzić sobie w tego typu zadaniach, gdybym miał inaczej przedstawioną zmienną losową Y, np. \(\displaystyle{ Y=X^2}\) lub \(\displaystyle{ Y=\sqrt{X}}\), to sprawa jest prosta, bo \(\displaystyle{ Y \geq 0}\) zawsze.

[Adifek]

tutaj zaczyna się mój problem, bo nie wiem jaki znak ma X i y

Przecież \(\displaystyle{ X}\) jest dodatnie z prawdopodobieństwem jeden.

[elbargetni]

Faktycznie, nie pomyślałem, czyli mogę przyjąć, że zmienna losowa X jest dodatnia, bo z prawdopodobieństwem 1 przyjmuje dodatnie wartości.
Zatem czy takie rozwiązanie jest poprawne:
\(\displaystyle{ F_Y(y) = P(Y<y) = P(\frac{1}{X}<y) = P(1<Xy) =
\left\{\begin{array}{l} P(X>\frac{1}{y}) \ dla \ y>0 \\P(X<\frac{1}{y}) \ dla \ y< 0 \\ 0 \ dla \ y=0 \end{array}=
\left\{\begin{array}{l} 1 - F_x(\frac{1}{y}) \ dla \ y>0 \\F_x(\frac{1}{y}) \ dla \ y< 0 \\ 0 \ dla \ y=0 \end{array}}\)
\(\displaystyle{ = \left\{\begin{array}{l} 1 - ( 1 -e^{-\frac{\lambda}{y}} ) \ dla \ y>0 \\ 0 \ dla \ y< 0 \\ 0 \ dla \ y=0 \end{array}
= \left\{\begin{array}{l} e^{-\frac{\lambda}{y}} \ dla \ y>0 \\0 \ dla \ y \leq 0 \end{array}}\)

[Adifek]

Tak.