Witam,
Mamy zmienne niezależne o takim samym rozkładzie:
\(\displaystyle{ X_1, X_2, ..., X_{2n}}\)
\(\displaystyle{ Z = \frac { X_{n+1} + \dots + X_{2n} }{n}\\
Y = \frac{ X_1 + \dost + X_{n}}{n}}\)
I teraz:
\(\displaystyle{ Pr (|Z-\alpha| \le |Y - \alpha|) \ge \frac12}\)
Skąd taka nierówność ?-- 11 sty 2015, o 00:41 --Nie ma chętnych, sam spróbuję zaatakować problem.
\(\displaystyle{ \{|Z-\alpha| \le |Y - \alpha|\}\cup \{|Z-\alpha| \ge |Y - \alpha|\}}\)
W powyższym zbiorze siedzi "wszystko". Tzn zmienne losowe \(\displaystyle{ Z}\) i \(\displaystyle{ Y}\) przyjmują jakieś tam wartości.
Para \(\displaystyle{ (z, y)}\) wpada do jednego ze zbiorów.
Jest jasne, że \(\displaystyle{ Pr(|Z-\alpha| \le |Y - \alpha|) + Pr (|Z-\alpha| \ge |Y - \alpha|) \ge 1}\)
Skoro mają taki sam rozkład, to :
\(\displaystyle{ Pr(|Z-\alpha| \le |Y - \alpha|) + Pr (|Z-\alpha| \ge |Y - \alpha|) = 2 Pr (|Z-\alpha| \ge |Y - \alpha|) = 2 Pr(|Z-\alpha| \le |Y - \alpha|) \ge 1 \Rightarrow Pr(|Z-\alpha| \le |Y - \alpha|) \ge \frac12}\)