znajdź rozkład zmiennej losowej
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
znajdź rozkład zmiennej losowej
Cześć !
\(\displaystyle{ X,Y}\) to niezależne zmienne losowe o rozkładzie \(\displaystyle{ \mathcal{E}(1)}\). Znaleźć rozkład zmiennej \(\displaystyle{ \left[ X+Y\right]}\), gdzie \(\displaystyle{ \left[ \cdot \right]}\) to część całkowita.
Zatem:
\(\displaystyle{ g_X(x)=e^{-x}\chi_{(0, + \infty)}(x) \\ g_Y(y)=e^{-y}\chi_{(0, + \infty)}(y)}\)
\(\displaystyle{ X,Y}\) są niezależne . Zatem \(\displaystyle{ g_{(X,Y)}(x,y)= e^{-x-y}\chi_{(0, + \infty)}(x)\chi_{(0, + \infty)}(y)}\)
\(\displaystyle{ P(\left[ X+Y\right]=k )= P(k \le X+Y<k+1)= \ldots}\)
Co dalej zrobić ?
Z góry dzięki!
\(\displaystyle{ X,Y}\) to niezależne zmienne losowe o rozkładzie \(\displaystyle{ \mathcal{E}(1)}\). Znaleźć rozkład zmiennej \(\displaystyle{ \left[ X+Y\right]}\), gdzie \(\displaystyle{ \left[ \cdot \right]}\) to część całkowita.
Zatem:
\(\displaystyle{ g_X(x)=e^{-x}\chi_{(0, + \infty)}(x) \\ g_Y(y)=e^{-y}\chi_{(0, + \infty)}(y)}\)
\(\displaystyle{ X,Y}\) są niezależne . Zatem \(\displaystyle{ g_{(X,Y)}(x,y)= e^{-x-y}\chi_{(0, + \infty)}(x)\chi_{(0, + \infty)}(y)}\)
\(\displaystyle{ P(\left[ X+Y\right]=k )= P(k \le X+Y<k+1)= \ldots}\)
Co dalej zrobić ?
Z góry dzięki!
-
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
znajdź rozkład zmiennej losowej
Dalej:
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(k \le X+Y<k+1) = \iint_{ \{ (x,y) \ : \ k \leq x+y < k+1\} } g_{(X,Y) } (x,y) \mathrm{d}(x,y) = \ldots}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(k \le X+Y<k+1) = \iint_{ \{ (x,y) \ : \ k \leq x+y < k+1\} } g_{(X,Y) } (x,y) \mathrm{d}(x,y) = \ldots}\)
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
znajdź rozkład zmiennej losowej
bartek118, cały problem w wyznaczeniu obszaru. Indykatory obcinają mi już obszar do pierwszej ćwiartki. Teraz warunek: \(\displaystyle{ \{ (x,y) \ : \ k \leq x+y < k+1\}}\). Jak to ładnie rozrysować, to okaże się, ze szukany obszar to taki skośny pasek między prostą \(\displaystyle{ y=-x+k+1}\) i prostą \(\displaystyle{ y=-x+k}\). Ale to póki co dla \(\displaystyle{ k \ge 0}\).
Zatem, o ile się nie mylę to :
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(k \le X+Y<k+1) = \iint_{ \{ (x,y) \ : \ k \leq x+y < k+1\} } g_{(X,Y) } (x,y) \mathrm{d}(x,y) = \int_0^k \int_{-x+k}^{-x+k+1} e^{-x-y}\mathrm{d}(x,y) + \int_k^{k+1} \int_0^{-x+k+1}e^{-x-y}\mathrm{d}(x,y)}\)
Zanim rozważe kolejne przypadki powiedz mi proszę, czy to co napisałem wyżej się zgadza : )
Zatem, o ile się nie mylę to :
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(k \le X+Y<k+1) = \iint_{ \{ (x,y) \ : \ k \leq x+y < k+1\} } g_{(X,Y) } (x,y) \mathrm{d}(x,y) = \int_0^k \int_{-x+k}^{-x+k+1} e^{-x-y}\mathrm{d}(x,y) + \int_k^{k+1} \int_0^{-x+k+1}e^{-x-y}\mathrm{d}(x,y)}\)
Zanim rozważe kolejne przypadki powiedz mi proszę, czy to co napisałem wyżej się zgadza : )
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
znajdź rozkład zmiennej losowej
bartek118, no i super ! Dla \(\displaystyle{ k <-1}\) to będzie zero. A dla \(\displaystyle{ k \in \left( -1,0\right)}\) będzie tylko jedna całka:
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(k \le X+Y<k+1) = \iint_{ \{ (x,y) \ : \ k \leq x+y < k+1\} } g_{(X,Y) } (x,y) \mathrm{d}(x,y) = \int_0^{k+1}\int_0^{-x+k+1}e^{-x-y} \mathrm{d}(x,y)}\)
A same całki to już analiza I : )
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(k \le X+Y<k+1) = \iint_{ \{ (x,y) \ : \ k \leq x+y < k+1\} } g_{(X,Y) } (x,y) \mathrm{d}(x,y) = \int_0^{k+1}\int_0^{-x+k+1}e^{-x-y} \mathrm{d}(x,y)}\)
A same całki to już analiza I : )
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
znajdź rozkład zmiennej losowej
bartek118, a no racja ! W ogóle, są tylko \(\displaystyle{ k \ge 0}\) więc nie ma co rozważać pozostałych dwóch przypadków : )
-
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
znajdź rozkład zmiennej losowej
Tak; ale absurd jest większy w tym, że \(\displaystyle{ k}\) jest całkowite, a Ty je brałeś z \(\displaystyle{ (-1,0)}\)
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
znajdź rozkład zmiennej losowej
bartek118, racja ! Niemniej jednak zadanie rozwiązane. Wystarczy policzyć tę całkę :
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(k \le X+Y<k+1) = \iint_{ \{ (x,y) \ : \ k \leq x+y < k+1\} } g_{(X,Y) } (x,y) \mathrm{d}(x,y) = \int_0^k \int_{-x+k}^{-x+k+1} e^{-x-y}\mathrm{d}(x,y) + \int_k^{k+1} \int_0^{-x+k+1}e^{-x-y}\mathrm{d}(x,y)}\)
i mamy jednoznacznie wyliczony rozkład zmiennej \(\displaystyle{ \left[ X+Y\right]}\)
Dzięki za pomoc Bartku!
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(k \le X+Y<k+1) = \iint_{ \{ (x,y) \ : \ k \leq x+y < k+1\} } g_{(X,Y) } (x,y) \mathrm{d}(x,y) = \int_0^k \int_{-x+k}^{-x+k+1} e^{-x-y}\mathrm{d}(x,y) + \int_k^{k+1} \int_0^{-x+k+1}e^{-x-y}\mathrm{d}(x,y)}\)
i mamy jednoznacznie wyliczony rozkład zmiennej \(\displaystyle{ \left[ X+Y\right]}\)
Dzięki za pomoc Bartku!