znajdź rozkład zmiennej losowej

[leszczu450]

Cześć !

\(\displaystyle{ X,Y}\) to niezależne zmienne losowe o rozkładzie \(\displaystyle{ \mathcal{E}(1)}\). Znaleźć rozkład zmiennej \(\displaystyle{ \left[ X+Y\right]}\), gdzie \(\displaystyle{ \left[ \cdot \right]}\) to część całkowita.

Zatem:

\(\displaystyle{ g_X(x)=e^{-x}\chi_{(0, + \infty)}(x) \\ g_Y(y)=e^{-y}\chi_{(0, + \infty)}(y)}\)

\(\displaystyle{ X,Y}\) są niezależne . Zatem \(\displaystyle{ g_{(X,Y)}(x,y)= e^{-x-y}\chi_{(0, + \infty)}(x)\chi_{(0, + \infty)}(y)}\)

\(\displaystyle{ P(\left[ X+Y\right]=k )= P(k \le X+Y<k+1)= \ldots}\)

Co dalej zrobić ?

Z góry dzięki!

[bartek118]

Dalej:
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(k \le X+Y<k+1) = \iint_{ \{ (x,y) \ : \ k \leq x+y < k+1\} } g_{(X,Y) } (x,y) \mathrm{d}(x,y) = \ldots}\)

[leszczu450]

bartek118, cały problem w wyznaczeniu obszaru. Indykatory obcinają mi już obszar do pierwszej ćwiartki. Teraz warunek: \(\displaystyle{ \{ (x,y) \ : \ k \leq x+y < k+1\}}\). Jak to ładnie rozrysować, to okaże się, ze szukany obszar to taki skośny pasek między prostą \(\displaystyle{ y=-x+k+1}\) i prostą \(\displaystyle{ y=-x+k}\). Ale to póki co dla \(\displaystyle{ k \ge 0}\).

Zatem, o ile się nie mylę to :

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(k \le X+Y<k+1) = \iint_{ \{ (x,y) \ : \ k \leq x+y < k+1\} } g_{(X,Y) } (x,y) \mathrm{d}(x,y) = \int_0^k \int_{-x+k}^{-x+k+1} e^{-x-y}\mathrm{d}(x,y) + \int_k^{k+1} \int_0^{-x+k+1}e^{-x-y}\mathrm{d}(x,y)}\)

Zanim rozważe kolejne przypadki powiedz mi proszę, czy to co napisałem wyżej się zgadza : )

[bartek118]

Wygląda OK.

[leszczu450]

bartek118, no i super ! Dla \(\displaystyle{ k <-1}\) to będzie zero. A dla \(\displaystyle{ k \in \left( -1,0\right)}\) będzie tylko jedna całka:

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(k \le X+Y<k+1) = \iint_{ \{ (x,y) \ : \ k \leq x+y < k+1\} } g_{(X,Y) } (x,y) \mathrm{d}(x,y) = \int_0^{k+1}\int_0^{-x+k+1}e^{-x-y} \mathrm{d}(x,y)}\)

A same całki to już analiza I : )

[bartek118]

Nie ma liczb \(\displaystyle{ k \in (-1, 0)}\).

[leszczu450]

bartek118, a no racja ! W ogóle, są tylko \(\displaystyle{ k \ge 0}\) więc nie ma co rozważać pozostałych dwóch przypadków : )

[bartek118]

Tak; ale absurd jest większy w tym, że \(\displaystyle{ k}\) jest całkowite, a Ty je brałeś z \(\displaystyle{ (-1,0)}\)

[leszczu450]

bartek118, racja ! Niemniej jednak zadanie rozwiązane. Wystarczy policzyć tę całkę :

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(k \le X+Y<k+1) = \iint_{ \{ (x,y) \ : \ k \leq x+y < k+1\} } g_{(X,Y) } (x,y) \mathrm{d}(x,y) = \int_0^k \int_{-x+k}^{-x+k+1} e^{-x-y}\mathrm{d}(x,y) + \int_k^{k+1} \int_0^{-x+k+1}e^{-x-y}\mathrm{d}(x,y)}\)

i mamy jednoznacznie wyliczony rozkład zmiennej \(\displaystyle{ \left[ X+Y\right]}\)

Dzięki za pomoc Bartku!