wyznaczyć gęstośc zmiennej losowej

[leszczu450]

Cześć!

\(\displaystyle{ X \sim \mathcal{E} \left( 1 \right) \\ P \left( Y=1 \right) =\frac{1}{4} , P \left( Y=-1 \right) = \frac{3}{4}}\)

Wyznaczyć gęstość zmiennej \(\displaystyle{ U= X^Y}\)

Wyznaczę najpierw dystrybuantę, a potem ją zóżniczkuję i otrzymam gęstość.

\(\displaystyle{ P \left( X^Y<t \right) = 0}\) dla \(\displaystyle{ t <0}\)

\(\displaystyle{ P \left( X^Y < t \right) = \frac{1}{4}P \left( X<t \right) + \frac{3}{4}P \left( \frac{1}{X}<t \right) = \frac{1}{4}P \left( X<t \right) + \frac{3}{4}P \left( X > \frac{1}{t} \right) = \frac{1}{4}F_X \left( t \right) + \frac{3}{4} \left( 1-F_X \left( \frac{1}{t} \right) \right)}\)

Czy do tego momentu wszystko jest ok ?

[bartek118]

Na razie wygląda OK.

[leszczu450]

Zatem dalej:

\(\displaystyle{ F_X \left( t \right) =1-e^{-t} \\ F_X \left( \frac{1}{t} \right) = 1-e^{-\frac{1}{t}}}\)

Stąd:

\(\displaystyle{ F_{X^Y} \left( t \right) =P \left( X^Y<t \right) = \frac{1}{4} \left( 1-e^{-t} \right) + \frac{3}{4} \left( 1-1+e^{-\frac{1}{t}} \right) = \frac{1}{4} \left( 1-e^{-t} + 3e^{-\frac{1}{t}} \right)}\)

Co po zróżniczkowaniu po \(\displaystyle{ t}\) daje nam gęstość:

\(\displaystyle{ f_{X^Y}(t)= \frac{1}{4}e^{-t} + \frac{3}{4} \frac{1}{t^2}e^{-\frac{1}{t}}}\)

Zgadza się ?

[bartek118]

Wygląda dobrze; dopisz tylko ten indykator na końcu, że jest to od \(\displaystyle{ 0}\)

[leszczu450]

\(\displaystyle{ f_{X^Y}(t)= \frac{1}{4}e^{-t} + \frac{3}{4} \frac{1}{t^2}e^{-\frac{1}{t}}\chi_{(0, + \infty)}(x)}\)

Teraz ok? : )

[bartek118]

Facepalm, tyle Ci powiem
Bardzo nie jest ok, ale to bardzo, bardzo; poprawiaj natychmiast

=== Edit: posta pisałem, gdy tam były dwa indykatory, teraz jest lepiej, ale nadal nie do końca

[leszczu450]

bartek118,

\(\displaystyle{ f_{X^Y}(t)= \frac{1}{4}e^{-t} + \frac{3}{4} \frac{1}{t^2}e^{-\frac{1}{t}}\chi_{(0, + \infty)}(t)}\)

Teraz już musi być ok

Tak to jest jak się rozwiązuje kilka zadań naraz!

[bartek118]

Zdecydowanie lepiej

[leszczu450]

bartek118, w końcu Ale dzięki za te uwagi! To niby małe błędy ale diabeł tkwi w szczegółach : )