wyznacz rozkład zmiennej

[leszczu450]

Cześć !

Zmienna \(\displaystyle{ X \sim G(p)}\). Wyznacz rozkład zmiennej \(\displaystyle{ Y=(-1)^X}\)

Rozwiązanie:

\(\displaystyle{ X \sim G(p) \Rightarrow P(X=k)=(1-p)^{k-1}p}\)

Jeśli \(\displaystyle{ X=2n , n \in \NN}\), to \(\displaystyle{ Y=1}\)
Jeśli \(\displaystyle{ X=2n-1 , n \in \NN}\), to \(\displaystyle{ Y=-1}\)

Stąd rozkład zmiennej \(\displaystyle{ Y}\) ma postać:

\(\displaystyle{ P(Y=1)=P(X=2n , n \in \NN)=(1-p)^{2n-1}p}\)
\(\displaystyle{ P(Y=-1)=P(X=2n-1 , n \in \NN)=(1-p)^{2n-2}p}\)

Czy zadanie jest dobrze rozwiązane?

Z góry dzięki!

[bartek118]

Nie. Co to za \(\displaystyle{ n}\)?

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(Y=1) = \sum_{n=1}^\infty \mathbb{P}(X=2n) = \ldots}\)

[leszczu450]

bartek118, a no tak! ...

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(Y=1) = \sum_{n=1}^\infty \mathbb{P}(X=2n) = \sum_{n=1}^\infty (1-p)^{2n-1}p= p \sum_{n=1}^\infty (1-p)^{2n-1}= p\left( \left( 1-p\right)^1 + (1-p)^3 + \ldots \right)= p \cdot \frac{1-p}{1- (1-p)^2} = \frac{1-p}{2-p}}\)

Teraz powinno być ok : ) I analogia dla \(\displaystyle{ P(Y=-1)}\) . Zgadza się ?

[bartek118]

Tak, jest OK.

[leszczu450]

bartek118, to mam jeszcze jedno podobne zadanie.

\(\displaystyle{ X \sim \mathcal{E} \left( \lambda \right)}\). Wyznaczyć rozkład \(\displaystyle{ Y= \left[ X\right]}\), gdzie \(\displaystyle{ \left[ \cdot \right]}\) to część całkowita.

Moje rozwiązanie:

\(\displaystyle{ X \sim \mathcal{E} \left( \lambda \right) \Rightarrow g \left( x \right) = \lambda e^{-\lambda x}}\)

Policzę dystrybuantę zmiennej \(\displaystyle{ Y}\).

\(\displaystyle{ P \left( Y \le t \right) = P \left( \left[ X\right] \le t \right) = P \left( t \le X \le t+1 \right) = F_X \left( t+1 \right) - F_X \left( t \right) =\\= \left( 1- e^{-\lambda \left( t+1 \right) } \right) - \left( 1- e^{-\lambda t} \right) = e^{-\lambda \left( t+1 \right) } + e^{-\lambda t}}\)

[bartek118]

Zdecydowanie nie.

Już drugi znak równości jest fałszywy.

\(\displaystyle{ Y}\) ma rozkład dyskretny, czyli liczysz:
\(\displaystyle{ \mathbb{P} (Y = k) = \mathbb{P} ([X] = k) = \mathbb{P} (k \leq X < k+1) = \int_{k}^{k+1} g(x) \mathrm{d}x = \ldots}\)

[leszczu450]

bartek118, ajjj no nie wiem co ze mną ! Dzięki za pomoc!