Witam! Muszę udowodnić, że jeżeli \(\displaystyle{ \xi_{1}}\) i \(\displaystyle{ \xi_{2}}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach \(\displaystyle{ G(\alpha _{i}, \lambda)}\) \(\displaystyle{ i =1,2}\) to zmienna losowa \(\displaystyle{ \eta= \xi_{1}+ \xi_{2}}\)ma rozkład \(\displaystyle{ G(\alpha _{1}+\alpha _{2}, \lambda).}\)
Mam : \(\displaystyle{ f _{n}(t)= \int_{- \infty }^{ \infty } f_{\xi_{1}}(t-x_{2}) \cdot f_{\xi_{2}}(x_{2}) dx_{2}=
\int_{0 }^{ t }(t-x_{2})^{\alpha _{1}-1} \cdot e^{ -\frac{(t-x_{2} )}{\lambda} } \cdot (x_{2}) ^{\alpha _{2}-1} \cdot e^{ -\frac{(x_{2} )}{\lambda} } dx_{2}}\)
Jest tu w ogóle ktoś kto potrafiłby mi pomóc z tym zadaniem?
suma zmiennych losowych o rozkładzie Gamma
-
szukampomocy90
- Użytkownik
- Posty: 122
- Rejestracja: 12 paź 2013, o 22:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 47 razy
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
suma zmiennych losowych o rozkładzie Gamma
Najprościej najpierw znajdujemy funkcję charakterystyczną rozkładu \(\displaystyle{ \Gamma(\alpha, \lambda)}\)
\(\displaystyle{ \phi_{\ksi}(t)=\frac{1}{\left(1-\frac{it}{\lambda}\right)^{\alpha}}.}\)
Następnie pokazujemy, że
\(\displaystyle{ \phi_{\xi_{1}+\xi_{2}}=\phi_{\xi_{1}}\cdot \phi_{\xi_{2}}=\frac{1}{\left(1-\frac{it}{\lambda}\right)^{\alpha_{1}+\alpha_{2}}}.}\)
\(\displaystyle{ \phi_{\ksi}(t)=\frac{1}{\left(1-\frac{it}{\lambda}\right)^{\alpha}}.}\)
Następnie pokazujemy, że
\(\displaystyle{ \phi_{\xi_{1}+\xi_{2}}=\phi_{\xi_{1}}\cdot \phi_{\xi_{2}}=\frac{1}{\left(1-\frac{it}{\lambda}\right)^{\alpha_{1}+\alpha_{2}}}.}\)
-
szukampomocy90
- Użytkownik
- Posty: 122
- Rejestracja: 12 paź 2013, o 22:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 47 razy
suma zmiennych losowych o rozkładzie Gamma
Znalazłem taką odpowiedź:
\(\displaystyle{ f _{n}(t)= \int_{- \infty }^{ \infty } f_{\xi_{1}}(t-x_{2}) \cdot f_{\xi_{2}}(x_{2}) dx_{2}= \int_{0 }^{ t } \frac{1}{\lambda^{\alpha_{1}+\alpha_{2} } \cdot \Gamma(\alpha_{1}) \cdot \Gamma(\alpha_{2})} (t-x_{2})^{\alpha _{1}-1} \cdot e^{ -\frac{(t-x_{2} )}{\lambda} } \cdot (x_{2}) ^{\alpha _{2}-1} \cdot e^{ -\frac{(x_{2} )}{\lambda} } dx_{2}=
\frac{1}{\lambda^{\alpha_{1}+\alpha_{2} } \cdot \Gamma(\alpha_{1}) \cdot \Gamma(\alpha_{2})} \cdot e^{- \frac{t}{\lambda} } \cdot \int_{0}^{t}(t-x_{2})^{\alpha _{1}-1} \cdot (x_{2}) ^{\alpha _{2}-1} dx_{2}}\)
I teraz podstawiając \(\displaystyle{ u= \frac{x_{2} }{t}}\) wychodzi:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\lambda^{\alpha_{1}+\alpha_{2} } \cdot \Gamma(\alpha_{1}) \cdot \Gamma(\alpha_{2})} \cdot e^{- \frac{t}{\lambda} } \cdot \int_{0}^{1} (t-ut)^{\alpha _{1}-1} \cdot (ut) ^{\alpha _{2}-1} tdu}\)
I potem wszystko wychodzi. Tylko nie wiem czemu po podstawieniu zmienił się przedział całkowania. Ktoś potrafiłby to wyjaśnić?
\(\displaystyle{ f _{n}(t)= \int_{- \infty }^{ \infty } f_{\xi_{1}}(t-x_{2}) \cdot f_{\xi_{2}}(x_{2}) dx_{2}= \int_{0 }^{ t } \frac{1}{\lambda^{\alpha_{1}+\alpha_{2} } \cdot \Gamma(\alpha_{1}) \cdot \Gamma(\alpha_{2})} (t-x_{2})^{\alpha _{1}-1} \cdot e^{ -\frac{(t-x_{2} )}{\lambda} } \cdot (x_{2}) ^{\alpha _{2}-1} \cdot e^{ -\frac{(x_{2} )}{\lambda} } dx_{2}=
\frac{1}{\lambda^{\alpha_{1}+\alpha_{2} } \cdot \Gamma(\alpha_{1}) \cdot \Gamma(\alpha_{2})} \cdot e^{- \frac{t}{\lambda} } \cdot \int_{0}^{t}(t-x_{2})^{\alpha _{1}-1} \cdot (x_{2}) ^{\alpha _{2}-1} dx_{2}}\)
I teraz podstawiając \(\displaystyle{ u= \frac{x_{2} }{t}}\) wychodzi:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\lambda^{\alpha_{1}+\alpha_{2} } \cdot \Gamma(\alpha_{1}) \cdot \Gamma(\alpha_{2})} \cdot e^{- \frac{t}{\lambda} } \cdot \int_{0}^{1} (t-ut)^{\alpha _{1}-1} \cdot (ut) ^{\alpha _{2}-1} tdu}\)
I potem wszystko wychodzi. Tylko nie wiem czemu po podstawieniu zmienił się przedział całkowania. Ktoś potrafiłby to wyjaśnić?