Problem z gęstością dwuwymiarowej zmiennej losowej.

[lojo]

Witam
Proszę o sprawdzenie lub ewentualnie poprawienie

Czy można dobrać stałą C tak, by funkcja:
\(\displaystyle{ f(x, y) =\begin{cases} Cy ^{2} x,\ gdy \ 0 < x < 1, \0 < y < 2,\\ 0,\ poza \tym,\end{cases}}\)
była gęstością dwuwymiarowej zmiennej losowej?
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \int_{1}^{2} \ Cy ^{2}x \mbox{d}x \mbox{d}y=
\int_{0}^{1} \left[C \frac{1}{3} \cdot x ^{3} \right]^{2} _{1} \mbox{d}x = \int_{1}^{0}
\left[ C \frac{1}{3} \cdot 2 ^{3} \right]-\left[ C \frac{1}{3} \cdot 1 ^{2} \right] \mbox{d}x = \int_{0}^{1} 1 \frac{2}{3}C \mbox{d}x =
\left[1 \frac{2}{3}C \cdot x \right] ^{1} _{0}=\left[ 1 \frac{2}{3}C \cdot 1 \right]-0=1 \frac{2}{3}C}\)

[Adifek]

Twoje liczenie całek łamie chyba wszystkie możliwe zasady.

\(\displaystyle{ \int_{1}^{2} \int_{0}^{1} \ Cy ^{2}x \mbox{d}x \mbox{d}y=C \cdot \int_{1}^{2} y^2 \mbox{d}y \cdot \int_{0}^{1}x \mbox{d}x =C \cdot \frac{7}{3} \cdot \frac{1}{2 } = \frac{7C}{6} \ \Rightarrow \ C = \frac{6}{7}}\)