Wariancja iloczynu zmiennych losowych

[elbargetni]

Jakie warunki muszą zachodzić, aby:
\(\displaystyle{ Var(X \cdot Y)=Var(X) \cdot Var(Y)}\), gdzie\(\displaystyle{ X,Y}\) - niezależne zmienne losowe

Rozpisanie prawej strony i lewej nie bardzo doprowadza mnie do czegoś, wiem, że odpowiedź to:
\(\displaystyle{ EX=0}\) i \(\displaystyle{ EY=0}\).
Gdy ją podstawię do wyjściowego wzoru, to mam:
\(\displaystyle{ E(X^2 \cdot Y^2)=E(X^2) \cdot E(Y^2)}\)
Również nie wiem dlaczego to musi być prawdziwe, z faktu, że zmienne losowe są niezależne, raczej to nie wynika, prosiłbym o pomoc.

[lemoid]

Z definicji:
\(\displaystyle{ var(X \cdot Y) = E[(X \cdot Y)^2]-\left(E[X \cdot Y]\right)^2 = E[X^2\cdot Y^2]-\left(E[(X]\cdot E[Y]\right)^2 = E[X^2]\cdot E[Y^2] - (E[X])^2\cdot (E[Y])^2 = var(X)var(Y)+var(X)E(Y)^2+var(Y)E(X)^2}\)

[elbargetni]

No dobrze, ale skąd wynika to, że:
\(\displaystyle{ E[X^2 \cdot Y^2] = E[X^2] \cdot E[Y^2]}\)

Czy to, że \(\displaystyle{ X, Y}\) są niezależne implikuje to, że \(\displaystyle{ X^2, Y^2}\) są niezależne, jeśli tak, to dlaczego?

[lemoid]

1. Intuicyjnie - jeżeli \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są wynikami np rzutu kostką to dlaczego ich kwadrat miałby zmieniać ich niezależność?

2. Funkcja gęstości iloczynu zmiennych niezależnych wyraża się jako ich iloczyn:
\(\displaystyle{ f_{X,Y}(x,y) = f_1(x)\cdot f_2(y)}\)

Dalej:
\(\displaystyle{ E[X^2\cdot Y^2] = \int\int x^2y^2f_{X,Y}(x,y) dx \ dy = \int x^2y^2f_1(x)f_2(y) dx \ dy}\)
Odpowiednio grupując wyrazy otrzymasz interesującą Ciebie zależność.