Słaba granica

[karolcia_23]

Hej czy ktoś potrafi mi wyjaśnić to zadanie, mam je rozwiązane ale nie do końca rozumiem, z góry dziękuje za pomoc
Wiem, że liczona jest dystrybuanta, tylko nie rozumiem tego co jest zaznaczone na czerwono, nie wiem dlaczego tak robimy, wyjaśni ktoś jak to jest robione?
Zad. 1
\(\displaystyle{ X_1,X_2,...}\) jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie wykładniczym z parametrem 1. Znaleźć słabą granicę ciągu
\(\displaystyle{ Y_n=max\left\{ 1-e^{X_1},...,1-e^{X_n}\right\}}\)

ROZWIĄZANIE
\(\displaystyle{ F_{Y_n}(t)=P(Y_n le t)=P(maxleft{ 1-e^{X_1},...,1-e^{X_n}
ight} le t)=\
P(1-e^{X_1} le t)cdot ... cdot P(1-e^{X_n} le t)=(P(1-e^{X_1} le t))^n stackrel{1)}{=}\
= egin{cases} 1 quad t ge 1 \ 1 quad t in [0,1) \ (frac{1}{1-t})^n quad t<0 end{cases}mathop{longrightarrow}_{n o infty} egin{cases} 1 quad t in [0,+infty) \ 0 quad t in (-infty,0) end{cases}

1) P(1-e^{X_1} le t)=P(e^{X_1} ge 1-t)= egin{cases} 1 quad 1-t le 0 Leftrightarrow 1 le t \
ed{P(X_1=ln(1-t)) quad 1-t>0 Leftrightarrow 1>t} end{cases} stackrel{2)}{=}\
=egin{cases} 1 quad t ge 1 \
ed{1 quad t in [0,1)} \
ed{1-F_{X_1}(ln(1-t)) quad t<0} end{cases}= \ =egin{cases} 1 quad t ge 1 \ 1 quad t in [0,1) \ 1-(1-e^{-ln(1-t)}) quad t<0 end{cases}=\
=egin{cases} 1 quad t ge 1 \ 1 quad t in [0,1) \ (1-t)^{-1} quad t<0 end{cases}\


ed{2) P(X_1 ge ln(1-t))= egin{cases} 1 quad ln(1-t) le 0 Rightarrow 1-t le 1 Leftrightarrow 0 le t \ 1-F_{X_1}(ln(1-t)) quad ln(1-t)>0 Leftrightarrow t<0 end{cases}}}\)

[miodzio1988]

logarytmujesz stronami i patrzysz sie kiedy argument ma sens, czyli jest wiekszy od zera. Gdzie tutaj sie gubisz?

[karolcia_23]

jak jest \(\displaystyle{ 2)}\) i mamy coś takiego
\(\displaystyle{ 1-F_{X_1}(ln(1-t)) \quad ln(1-t)>0 \Leftrightarrow t<0}\) to to jest drugi przypadek ale dlaczego akurat taki

[miodzio1988]

zobacz jaką masz definicje dystrybuanty i skorzystaj od razu z jednej z najbardziej znanych wlasnosci pstwa