funkcja charakterystyczna

natasza123 · Post autor: **natasza123** » 30 gru 2014, o 12:40

Bardzo o pomoc w rozwiązaniu takiego zadania.
Wyznacz funkcje charakterystyczna zmiennej losowej X, dla której dla dowolnego zbioru borelowskiego A
\(\displaystyle{ P(X \in A)= \frac{1}{3} 1_{A}(1)+ \int_{-1}^{1}1_{A}(x)dx}\) gdzie \(\displaystyle{ 1_A}\) indykator zbioru A

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 30 gru 2014, o 19:36

Ta całka musi być ze współczynnikiem \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\). Dlaczego?

robertm19 · Post autor: **robertm19** » 30 gru 2014, o 20:15

To jest łatwe jeżeli dobrze zinterpretuje się warunek na wartość prawdopodobieństwa.
Biorąc pod uwagę to co napisał szw1710,
zmienna ma gęstość \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) na przedziale \(\displaystyle{ (-1,1)}\) i atom \(\displaystyle{ P(X=1)=\frac{1}{3}}\).

natasza123 · Post autor: **natasza123** » 3 sty 2015, o 11:06

tak macie racje zapomnialam o \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) a skąd wiedziałeś ze tam jest bład?

robertm19 · Post autor: **robertm19** » 3 sty 2015, o 11:11

Prawdopodobieństwo całego \(\displaystyle{ R}\) musi być równe jeden.

natasza123 · Post autor: **natasza123** » 3 sty 2015, o 11:28

no tak
czyli funkcja charakterystyczne takiego rozkadu bedzie wynosic
\(\displaystyle{ \varphi \left( x \right) = \frac{1}{3}e^{it}+ \int_{-1}^{1}e^{itx} \frac{1}{3}dx = \frac{1}{3} \left( \cos t+i\sin t \right) + \frac{2\sin \left( 2t \right) }{3t} =\frac{2\sin \left( 2t \right) }{3t}+ \frac{1}{3} i \sin \left( t \right) + \frac{\cos t}{3}}\)
tak ?