Zmienne losowe, gęstość łączna

[elaromut]

Mam problem z zadaniem, które jest już teoretycznie rozwiązane.

Wykazać, że ciąg \(\displaystyle{ (Y_{n})}\) którego wyrazy mają postać \(\displaystyle{ Y_{1}=X_{1}, Y_{2}=X_{1}+X_{2}}\) itd., gdzie \(\displaystyle{ X_{1}, X_{2}, X_{3}, ..., X_{n}}\) jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o gęstościach \(\displaystyle{ f_{i}(x)}\), i=1,2,3,..., jest ciągiem Markowa.

Rozwiązanie:
Można pokazać, że łączna gęstość zmiennych losowych \(\displaystyle{ Y_{1}, Y_{2}, ..., Y_{n}}\) ma postać:
\(\displaystyle{ f(y_{1}, y_{2}, ..., y_{n})=f_{1}(y_{1})*f_{2}(y_{2}-y_{1})*...*f_{n}(y_{n}-y_{n-1})}\)


W jaki sposób można pokazać, że ta łączna gęstość ma właśnie taką postać?
Z góry dziękuję za wskazówki.

[bartek118]

Przez prostą indukcję. Dla \(\displaystyle{ n=1}\) jest OK. Dla \(\displaystyle{ n=2}\) mamy \(\displaystyle{ Y_2 = X_1 + X_2 = Y_1 + X_2}\), gęstość sumy to splot gęstości itd.