Dystrybuanta po raz kolejny

[AvATar7SeVen]

Dzień dobry!
Mam problem z następującym zadaniem: należy wyrazić dystrybuantę zmiennej losowej Y za pomocą dystrybuanty zmiennej losowej X oraz, gdy X jest typu ciągłego, należy wyrazić gęstość zmiennej Y za pomocą gęstości zmiennej X. Zmienna losowa Y wyraża się następującym wzorem:
\(\displaystyle{ Y=-2\ln|X|}\)
Jest jeszcze dodatkowe założenie, że:
\(\displaystyle{ P(X=0)=0}\)
ale nie wiem, czy to ma jakieś znaczenie dla obliczeń?
Moje obliczenia:
\(\displaystyle{ F_Y(y)=P(Y<y)=P(-2\ln|X|<y)=P(\ln|X|>-\frac{1}{2}y)=P(|X|>e^{-\frac{1}{2}y})=P(e^{-\frac{1}{2}y}<X<-e^{-\frac{1}{2}y})=F_X(-e^{-\frac{1}{2}y})-F_X(e^{-\frac{1}{2}y}+)}\)
Co do gęstości to wiadomo, że trzeba po prostu policzyć pochodną.
Mój problemy:
1. Czy trzeba tutaj wyróżnić jakieś przedziały y? Wydaje mi się, że nie, bo funkcja Y(X) ma w zbiorze wartości wszystkie liczby rzeczywiste? Tak by nawet wynikało z wykresu:
Wykładowca tłumaczył nam, że żeby znaleźć te przedziały to trzeba postawić w pewnym miejscu poziomą „asymptotę” i wziąć wszystkie argumenty znajdujące się poniżej tej prostej. Z wykresu widać, że dla dowolnego Y będą to wszystkie X mniejsze od -e^... i większe od e^...
Jednak, szczerze mówiąc, niezbyt dobrze rozumiem te przedziały i nie jestem pewien, czy to jest dobrze.
2. Cały ten przykład wydaje mi się w ogóle dosyć dziwny, bo granice całkowania są tak jakby odwrócone i wydaje mi się, że nie ma takiego y, dla którego ta dystrybuanta w ogóle byłaby dodatnia, no chyba żeby funkcja gęstości była ujemna, co jest przecież bzdurą...

Bardzo proszę o sprawdzenie i pomoc.

[miodzio1988]

Zobacz kiedy te nierówności są prawdziwe i mas odpowiedź do pytania 1

[AvATar7SeVen]

Przeanalizowałem robiony na zajęciach przykład z 1/x, gdzie dla y>0 również otrzymuje się dwa „zewnętrzne” przedziały i na tej podstawie doszedłem do wniosku, że dla dowolnego y:
\(\displaystyle{ X<-e^{-\frac{1}{2}y} \vee X>e^{-\frac{1}{2}y}}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ P(|X|>e^{-\frac{1}{2}y})=F_X(-e^{-\frac{1}{2}y})+1-F_X(e^{-\frac{1}{2}y})}\)
Co definitywnie rozwiązuje drugi problem, natomiast nadal mam małe wątpliwości co do problemu pierwszego. Uważam, że będzie tylko jeden przedział z \(\displaystyle{ y \in \mathbb{R}}\).

Mam teraz problem z innym zadaniem. Dystrybuanta zmiennej X wyraża się następująco:
\(\displaystyle{ F_X(x)=\begin{cases}0 &\text{dla } x \le -1\\
\frac{x}{3} + \frac{1}{3} &\text{dla } -1 < x \le 0\\
\frac{2}{3}x^{3} + \frac{1}{3} &\text{dla } 0 < x \le 1\\
1 &\text{dla } x > 1\end{cases}}\)
Należy to wyrazić za pomocą dystrybuanty zmiennej losowej Y, danej:
\(\displaystyle{ Y=X^{2}}\)
Jeśli chodzi o to zadanie, to już całkowicie się pogubiłem.
\(\displaystyle{ F_Y(y)=P(Y<y)=P(X^{2}<y)=P(- \sqrt{y} <X< \sqrt{y})}\)
Co oczywiste, dla \(\displaystyle{ y \le 0}\) ta dystrybuanta będzie równa 0 i interesujący jest tylko przedział \(\displaystyle{ 0^{2}<y \le 1^{2}}\)
Moje pytania:
1. Co z przedziałem \(\displaystyle{ -1 < x \le 0}\), mam go zignorować i przeliczyć tylko \(\displaystyle{ 0 < x \le 1}\)? Bo po podniesieniu do kwadratu tego pierwszego przedziału znajdujemy się na obszarze, gdzie dystrybuanta będzie odpowiednio 0 lub 1...
2. Na zajęciach robiliśmy inny przykład z tak samo daną zmienną Y(X), ale dystrybuanta X wyrażała się następująco:
\(\displaystyle{ F_X(x)=\begin{cases}0 &\text{dla } x \le -1\\
\frac{1}{3}x + \frac{1}{3} &\text{dla } -1 < x \le 2\\
1 &\text{dla } x > 2\end{cases}}\)
Z jakiegoś powodu powstały nam takie przedziały:
\(\displaystyle{ F_Y(y)=\begin{cases}0 &\text{dla } y \le 0\\
F_X(\sqrt{y})-F_X(\sqrt{-y}) &\text{dla } 0 < x \le 1\\
F_X(\sqrt{y}) &\text{dla } 1 < x \le 4\\
1 &\text{dla } x > 4\end{cases}}\)
Skąd się wzięły oddzielne przedziały (0,1> i (1,4> i dlaczego na tym drugim nie odejmujemy dystrybuanty w minus pierwiastku? Odnoszę wrażenie, że powinno tam być raczej \(\displaystyle{ F_X(\sqrt{y})-F_X(\sqrt{-y}) &\text{dla } 0 < x \le 4}\).

[miodzio1988]

Na pewno w 2 dobrze przepisales? Albo kwadrat powinien być zamiast trzeciej potegi albo te pierwiastki powinny byc inne

[AvATar7SeVen]

Oczywiście jest błąd. Skopiowałem kawałek formuły z początku postu i zapomniałem zamienić. Już poprawiam.

Co do pytania 1, to przyszło mi do głowy, że po podniesieniu do kwadratu otrzymamy \(\displaystyle{ 1<x \le 0}\), co jest przecież sprzecznością.