Wartość oczeiwana i wariancja zmiennej losowej

[forget24]

Mam kłopot z zadaniem:
Obliczyć \(\displaystyle{ EY}\) i \(\displaystyle{ DY}\), jeśli wiadomo, że zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład jednostajny na odcinku \(\displaystyle{ [-2,3]}\), natomiast \(\displaystyle{ Y= X^{2} + 1}\).


Wiem jak należałoby to rozwiązać dla zmiennej dyskretnej, ale tutaj jest zmienna losowa ciągła, mógłbym skorzystać ze wzoru \(\displaystyle{ EY = \int_{ - \infty }^{ \infty } y \cdot f(y) dy}\), ale nie wiem jak obliczyć gęstość dla \(\displaystyle{ Y}\), tzn \(\displaystyle{ f(y)}\). Wiem że dla zmiennej \(\displaystyle{ X}\), pole pod wykresem gęstości \(\displaystyle{ =1}\), zatem \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{5}}\) dla \(\displaystyle{ x \in [-2,3]}\). Ale nie wiem jak poradzić sobie z tą zmienną \(\displaystyle{ Y}\).

Proszę o wskazówki.

[lukasz1804]

Może pomocna będzie dystrybuanta \(\displaystyle{ F}\) zmiennej \(\displaystyle{ Y}\)?

\(\displaystyle{ F(t)=P(X^2+1<t)=\begin{cases} P(-\sqrt{t-1}<X<\sqrt{t-1})\ &\text{dla}\ t>1 \\ 0\ &\text{dla}\ t\le 1 \end{cases}=\begin{cases} 1\ &\text{dla}\ t>10 \\ \frac{\sqrt{t-1}+2}{5}\ &\text{dla}\ 5< t\le 10 \\ \frac{2}{5}\sqrt{t-1}\ &\text{dla}\ 1<t\le 5 \\ 0\ &\text{dla}\ t\le 1 \end{cases}}\)

Związek między dystrybuantą a gęstością jest Ci, jak sądzę, raczej znany, więc łatwo wyznaczysz gęstość zmiennej \(\displaystyle{ Y}\).