Pięciu kolegów (A, B, C, D, E) koresponduje ze sobą. Dla każdego z nich liczbę wysłanych listów można zamodelować rozkładem Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda}\), przy czym liczby te są niezależne dla poszczególnych kolegów, i dodatkowo przed wysłaniem każdego z listów nadawca wybiera niezależnie odbiorcę wśród pozostałych (i każdy z nich ma wówczas taką samą szansę bycia wylosowanym).
Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zmienną losową oznaczającą liczbę listów otrzymanych przez B, które wysłał A. Widać, że każdy list wysłany przez A, B otrzymuje z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\). Czy to jest oczywiste (właśnie nie wiem jak uzasadnić tą oczywistość), że \(\displaystyle{ X \sim Pois(\frac{\lambda}{4} )}\), czy może powinienem to udowodnić, tzn obliczyć:
\(\displaystyle{ P(X = k) = \sum_{i \ge k}^{ \infty } P(A \ wyslal \ i \ listow) \cdot P(B \ otrzymal \ k \ listow \ od \ A \ | \ A \ wyslal \ i \ listow)}\)
?