Część całkowita

[karolcia_23]

Hej mam takie zadanie, czy ktoś może sprawdzić?

Zad.1
Niech \(\displaystyle{ X, Y}\) będą zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie wykładniczym \(\displaystyle{ E(1)}\). Znajdź rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ \left[ X+Y\right]}\) \(\displaystyle{ ( czyt. \left[ x\right]}\)- część całkowita\(\displaystyle{ x}\))

\(\displaystyle{ k-X \le Y<k+1-X}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty}\int_{k-X}^{k+1-X}X+Y dydx=\\
\int_{0}^{\infty}\int_{k-X}^{k+1-X}X dydx+\int_{0}^{\infty}\int_{k-X}^{k+1-X}Y dydx=\\
\int_{0}^{\infty}X dx + \int_{0}^{\infty}\frac{(k+1-X)^2}{2}dx+\int_{0}^{\infty}\frac{(k-X)^2}{2}dx=}\) po obliczeniach wychodzi coś takiego
\(\displaystyle{ \left( \frac{x}{2}+\frac{x^2}{4}+kx-\frac{x^3}{6}\right) _{0}^{\infty}}\)

a jak wpisałam w kalkulator do całek podwójnych oznaczonych to wynik jest następujący \(\displaystyle{ \left( k+1\right)\infty}\)
Jeśli coś zrobiłam nie tak to proszę o pomoc i z góry dziękuje

[miodzio1988]

Proponuję rozkład tej sumy najpierw wyznaczyć

[karolcia_23]

a możesz podpowiedzieć jak?

[miodzio1988]

No to nie bierzemy się za wyznaczenie rozkładu cechy jeśli nie umiemy wyznaczać podstawowych rozkładów takich jak suma

[karolcia_23]

\(\displaystyle{ f_X(x)=e^{-x}\\
f_Y(y)=e^{-y}\\
F_X(x)=1-e^{-x}\\
F_Y(y)=1-e^{-y}\\
Z=X+Y \quad Z=k\\
P(Z=k)=P((X,Y)=(i,k-i); i \in \left\{ 0,...,k\right\} )=\\
\sum_{i=0}^{k}P((X,Y)=(i,k-i))=\\
\sum_{i=0}^{k}P(X=i)P(Y=k-i)=\\
\sum_{i=0}^{k}(1-e^{-i})(1-e^{-k+i}=\\
\sum_{i=0}^{k}1-e^{-k+i}-e^{-i}+e^{-k}}\)
Coś takiego?

[miodzio1988]

No to nie bierzemy się za wyznaczenie rozkładu cechy jeśli nie umiemy wyznaczać podstawowych rozkładów takich jak suma

Powtórzę.

Ty powtórzysz zatem podstawy

[karolcia_23]

a możesz mi powiedzieć co u Ciebie ma znaczyć rozkład cech, bo możliwe, że ja miałam to inaczej sformułowane i teraz Ciebie nie rozumiem