wartość oczekiwana względem sigma ciała

[leszczu450]

Cześć!

Zadanie:

Niech \(\displaystyle{ \Omega= \left[ 0,1 \right]}\), \(\displaystyle{ P}\)- miara Lebesgue'a na \(\displaystyle{ \left[ 0,1 \right]}\). Wyznacz \(\displaystyle{ E \left( f|F \right)}\), gdzie \(\displaystyle{ f \left( x \right) =-x}\), a \(\displaystyle{ F}\) jest sigma algebrą generowaną przez zbiory \(\displaystyle{ \left[ 0, 1/2 \right) , \left[ 1/3,1 \right]}\).

Zadania tego typu umiem zrobić, o ile \(\displaystyle{ \Omega}\) to suma rozłącznych przedziałów- rozbicie. Tutaj moje przedziały nie są rozłączne. Czy zatem sigma algebra generowana przez \(\displaystyle{ \left[ 0, 1/2 \right) , \left[ 1/3,1 \right]}\) to będzie to samo co sigma algebra generowana przez \(\displaystyle{ \left[ 0, 1/3 \right] , \left( 1/3, 1/2 \right) , \left[ 1/2,1 \right]}\) ?

Z góry dziękuję za pomoc.

[Spektralny]

Zdecydowanie w \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebrze generowanej przez dwa zbiory masz ich część wspólną, skąd

\(\displaystyle{ \sigma( [0,\tfrac{1}{2}), [\tfrac{1}{3}, 1]) = \sigma( [0,\tfrac{1}{3}], (\tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{2}), [\tfrac{1}{2}, 1]).}\)

[leszczu450]

Spektralny, no fakt ! Ale wtopa! : )

Zatem

\(\displaystyle{ E \left( f|F \right) = E \left( f| \left[ 0, 1/3 \right] \right) \chi_{ \left[ 0, 1/3 \right] } + E \left( f| \left( 1/3, 1/2 \right) \chi_{ \left( 1/3,1/2 \right) } + E \left( f| \left[ 1/2,1 \right] \right) \chi_{ \left[ 1/2, 1 \right] }}\)