Dane są zmienne losowe \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\), które mają łączną gęstość określoną wzorem:
\(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{1}{2\pi} e^{ \frac{x^2-2xy+2y^2}{2} }}\), mam wykazać, że \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dxdy=1}\)
Doprowadziłem całkę do postaci \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{ \sqrt{2\pi}} e^{ -\frac{y^2}{2} } dy \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{ \sqrt{2\pi}} e^{ -\frac{-(x+y)^2}{2} } dx}\)
I tutaj nie wiem jak sobie z tym poradzić, czy jest jakiś sposób na policzenie tej całki? A być może trzeba skorzystać z jakiś właściwości rozkładu normalnego lub funkcji błędu Gaussa?
Funkcja gęstości, dowód
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Funkcja gęstości, dowód
Oczywiste jest, że
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{ \sqrt{2\pi}} e^{ -\frac{y^2}{2} } dy =1}\).
Dodatkowo całka
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{ \sqrt{2\pi}} e^{ -\frac{-(x+y)^2}{2} } dx}\)
też jest równa \(\displaystyle{ 1}\), gdyż jest to zwyczajnie przesunięty Gauss, bez zmiany skalowania.
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{ \sqrt{2\pi}} e^{ -\frac{y^2}{2} } dy =1}\).
Dodatkowo całka
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{ \sqrt{2\pi}} e^{ -\frac{-(x+y)^2}{2} } dx}\)
też jest równa \(\displaystyle{ 1}\), gdyż jest to zwyczajnie przesunięty Gauss, bez zmiany skalowania.