Funkcja gęstości, dowód

[adi3]

Dane są zmienne losowe \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\), które mają łączną gęstość określoną wzorem:

\(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{1}{2\pi} e^{ \frac{x^2-2xy+2y^2}{2} }}\), mam wykazać, że \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dxdy=1}\)

Doprowadziłem całkę do postaci \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{ \sqrt{2\pi}} e^{ -\frac{y^2}{2} } dy \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{ \sqrt{2\pi}} e^{ -\frac{-(x+y)^2}{2} } dx}\)

I tutaj nie wiem jak sobie z tym poradzić, czy jest jakiś sposób na policzenie tej całki? A być może trzeba skorzystać z jakiś właściwości rozkładu normalnego lub funkcji błędu Gaussa?

[yorgin]

Oczywiste jest, że

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{ \sqrt{2\pi}} e^{ -\frac{y^2}{2} } dy =1}\).

Dodatkowo całka

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{ \sqrt{2\pi}} e^{ -\frac{-(x+y)^2}{2} } dx}\)

też jest równa \(\displaystyle{ 1}\), gdyż jest to zwyczajnie przesunięty Gauss, bez zmiany skalowania.