prawdopodobieństwo i rozkład geometryczny

[leszczu450]

Cześć !

Zadanie:

Zmienne \(\displaystyle{ R}\) i \(\displaystyle{ H}\) są niezależne. \(\displaystyle{ R \sim G \left( p \right)}\), \(\displaystyle{ P \left( H=1 \right) =P \left( H=2 \right) = 1/2}\). Oblicz prawdopodobieństwo, że objetośc walca o promieniu \(\displaystyle{ R}\) i wysokości \(\displaystyle{ H}\) jest parzystą wielokrotnością \(\displaystyle{ \pi}\).

Moje rozwiązanie:

\(\displaystyle{ P \left( \pi R^2H=2n\pi , \ n=1,2, \ldots \right) = P \left( R^2H=2n ,\ n=1,2, \ldots \right) = \\ = P \left( R^2H=2 \right) + P \left( R^2H=4 \right) + \ldots = \sum_{n=1}^{\infty} P \left( R^2H=2n \right) =\\ = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2}P \left( R^2=2n \right) + \frac{1}{2}P \left( R^2=n \right) = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}P \left( R^2=2n \right) + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty} P \left( R^2=n \right)}\)

Teraz zauważam, że \(\displaystyle{ P \left( R^2=2n \right) =P \left( R=2n \right)}\), bo:
\(\displaystyle{ P \left( R^2=2 \right) =0 \\ P \left( R^2=4 \right) =P \left( R=2 \right) \\ P \left( R^2=6 \right) =0 \\ P \left( R^2=8 \right) = 0 \\ P \left( R^2=10 \right) =0 \\ \vdots \\ P \left( R^2=16 \right) =P \left( R=4 \right) \\ \vdots}\)

Stąd mam, że:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}P \left( R^2=2n \right) = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}P \left( R=2n \right) = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \left( 1-p \right) ^{2n}p = \frac{1}{2}p \cdot \frac{ \left( 1-p \right) ^2}{1- \left( 1-p \right)^2 }}\)

Analogicznie zauważam, że \(\displaystyle{ P \left( R^2=n \right) =P \left( R=n \right)}\). Zatem:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}P \left( R^2=n \right) = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}P \left( R=n \right) = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \left( 1-p \right) ^{n}p = \frac{1}{2}p \cdot \frac{ \left( 1-p \right) }{1- \left( 1-p \right) }= \frac{1}{2} \left( 1-p \right)}\)

Zatem ostateczny wynik to:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}p \cdot \frac{ \left( 1-p \right) ^2}{1- \left( 1-p \right)^2 } + \frac{1}{2} \left( 1-p \right) = \frac{ \left( p-1 \right) \left( p- 1,5 \right) }{2-p}}\)

Czy to jest prawidłowe rozumowanie i rozwiązanie ?

[Everard]

W rozumowaniu błędu nie widzę, jedyna uwaga: W swoim rozumowaniu nie otrzymujesz, że \(\displaystyle{ P(R^2=2n)=P(R=2n)}\), tylko że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty P(R^2=2n)=\sum_{n=1}^\infty} P(R=2n)}\). Poza tym wydaje się być dobrze.