prawopodobieństwo wylosowania wszystkich

matinf · Post autor: **matinf** » 7 gru 2014, o 18:31

Klasa liczy \(\displaystyle{ 20}\) uczniów, na każdej lekcji do odpowiedzi losowany jest dokładnie jeden
uczeń. Oblicz prawdopodobieństwo, że w ciągu \(\displaystyle{ 21}\) lekcji każdy uczeń będzie przepytany.

Czy dobrze to rozwiązuję ?
Schemat klasyczny, układam ciągi:

\(\displaystyle{ |\Omega| = 20^{21}}\) - wybieram numery uczniów na każdy dzień.
\(\displaystyle{ |A|=21! \cdot 20}\)
numer 21 to fikcyjny uczeń w jego miejsce na dwadzieścia sposobów wpiszę numer jednego z uczniów.

Ok ?

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 7 gru 2014, o 18:37

Nie ok, niektóre układy wypisujesz kilka razy. Rozpisz sobie to na kartce dla \(\displaystyle{ n=2}\) zamiast \(\displaystyle{ n=20}\).

matinf · Post autor: **matinf** » 7 gru 2014, o 19:03

Nie za bardzo widzę błąd. Jakiś przykład takiego układu ?

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 7 gru 2014, o 22:57

Tak... \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\) - uczniowie, \(\displaystyle{ c}\) - ten Twój dodatkowy symbol.
Wtedy \(\displaystyle{ \Omega}\) jest poprawnie wyznaczona, ale (wg Ciebie): A składa się z dwóch kopii (nie wiem, jak to nazwać...) \(\displaystyle{ abc, acb, bac, bca , cab, cba}\), raz dla \(\displaystyle{ c = b}\), raz dla \(\displaystyle{ c = a}\).

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 7 gru 2014, o 23:33

matinf, to co napisałeś nie jest poprawne. Zauważ, że np. takie ułożenie uczniów/numerów:

\(\displaystyle{ 1, 3, 7, ... , 21}\)

i wylosowanie w miejsce numeru \(\displaystyle{ 21}\) ucznia nr \(\displaystyle{ 7}\), jest takim samym układem jak ułożenie:

\(\displaystyle{ 1, 3, 21, ... , 7}\)

i wylosowanie w miejsce numeru \(\displaystyle{ 21}\) ucznia nr \(\displaystyle{ 7}\)

W obydwu przypadkach kolejność odpowiadających będzie identyczna, tzn. taka:

\(\displaystyle{ 1, 3, 7, ... , 7}\)

ale gdyby liczyć wg Twojej propozycji, to będzie ona policzona dwukrotnie.

Przy liczeniu mocy zbioru \(\displaystyle{ A}\) najprościej zrobić tak:

Bierzesz karteczki z numerami wszystkich uczniów, dolosowujesz jedną karteczkę z numerem ucznia który będzie pytany dwukrotnie (\(\displaystyle{ 20}\) możliwości) a nstępnie rozkładasz te karteczki w dowolnej kolejności (permutacje z powtórzeniami).

matinf · Post autor: **matinf** » 8 gru 2014, o 19:59

Bierzesz karteczki z numerami wszystkich uczniów, dolosowujesz jedną karteczkę z numerem ucznia który będzie pytany dwukrotnie (\(\displaystyle{ 20}\) możliwości) a nstępnie rozkładasz te karteczki w dowolnej kolejności (permutacje z powtórzeniami).

No jasne!