obliczyć rozkład zmiennej losowej

[leszczu450]

Cześć !

Zmienne \(\displaystyle{ X,Y}\) są niezależnymi zmiennymi o rozkłądzie \(\displaystyle{ \mathcal{U} \left( 0,1 \right)}\). Znajdź rozkład \(\displaystyle{ Z=X-Y}\).

Liczę więc:

\(\displaystyle{ P\left( X-Y<t \right) = P \left( X< Y+t \right) = \iint_{\left\{ \left( x,y \right) , \ x<y+t\right\} } f_{ \left( X,Y \right) }\mathrm{d} \left( x,y \right) = \\ = \iint_{\left\{ \left( x,y \right) , \ x<y+t\right\} } \chi_{ \left( 0,1 \right) } \left( x \right) \chi_{ \left( 0,1 \right) } \left( y \right) \mathrm{d} \left( x,y \right)}\)

I jak zwykle problem z granicami całek. Rysuję sobie układ współrzędnych. Zaznaczam kwadrat \(\displaystyle{ \left[ 0,1 \right] \times \left[ 0,1 \right]}\). I teraz patrze na mój zbiór \(\displaystyle{ A=\left\{ \left( x,y \right) , \ x<y+t\right\}}\)

Zatem:

\(\displaystyle{ \iint_{\left\{ \left( x,y \right) , \ x<y+t\right\} } \chi_{ \left( 0,1 \right) } \left( x \right) \chi_{ \left( 0,1 \right) } \left( y \right) \mathrm{d} \left( x,y \right) = \begin{cases} 0 , & t \leq 1 \\ ? , & t \in \left( -1,1 \right) \\ 1 , & t \geq 1 \end{cases}}\)

Nie wiem jak sobie poradzić z tym gdy \(\displaystyle{ t \in \left( -1,1 \right)}\).

Proszę o pomoc.

[bartek118]

Rozpatrz osobno \(\displaystyle{ t > 0}\) i \(\displaystyle{ t < 0}\); narysuj ten obszar, to jest kwadrat obcięty przez pewną prostą.

[leszczu450]

bartek118, ok ! coś naskrobałem ale nie mam zielonego pojęcia czy dobrze to zrobiłem : )


\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 , & t \leq 1 \\ \int_0^{t+1}\int_{x-t}^1 \mathrm{d}y\mathrm{d}x , & t \in \left( -1,0 \right) \\ \int_0^t \int_0^1 \mathrm{d}y\mathrm{d}x + \int_t^1 \int_{x-t}^1 \mathrm{d}y\mathrm{d}x , & t \in (0,1) \\ 1 , & t \geq 1 \end{cases}}\)

[Spektralny]

Po co tak komplikować. Po pierwsze rzecz się dzieje w kwadracie jednostkowym \(\displaystyle{ [0,1]\times [0,1]}\). Po drugie, nierówność \(\displaystyle{ x<y+t}\) określa pewną półpłaszczyznę, która po przeciecięciu z kwadratem da Ci trójkąt. Pole trójkąta do policzenia jest bardzo łatwe.

[leszczu450]

Spektralny, no właśnie nie. Raz da mi trójkąt, a raz trapez.