Bankructwo w grze

[27anig]

Pan T. przeznacza na grę 6zł. W jednej kolejce może wygrać 1zł z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) lub przegrać 1zł z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\). Pan T. kończy grę w momencie, gdy będzie miał 9zł lub przegra wszystko. Oblicz prawdopodobieństwo, że pan T przegra wszystko.

Kombinowałam w ten sposób.
I. \(\displaystyle{ n}\) wygranych, \(\displaystyle{ n+6}\) przegranych
II. \(\displaystyle{ n+1}\) wygranych \(\displaystyle{ n+7}\) przegranych
III. \(\displaystyle{ n+2}\) wygranych \(\displaystyle{ n+8}\) przegrancyh

czyli
\(\displaystyle{ P(W=0)= \sum_{n=0}^{\infty} \left ( {2n+6 \choose n}(\frac{1}{3})^n(\frac{2}{3})^{n+6}+{2n+8 \choose n+1}(\frac{1}{3})^{n+1}(\frac{2}{3})^{n+7}+{2n+10 \choose n+2}(\frac{1}{3})^{n+2}(\frac{2}{3})^{n+8} \right)}\)

Wygląda to strasznie... i nawet nie wiem czy to dobry trop Proszę o pomoc

[Adifek]

Wiadomo, że musi grać co najmniej 6 razy. Wiadomo, że musi przegrać o 6 razy więcej niż wygrać. Wiadomo, że takich kombinacji jest nieskończenie wiele. Otrzymujemy:

\(\displaystyle{ P(W=0) = \sum_{n=0}^{\infty} {2n+6 \choose n}\left( \frac{1}{3} \right)^{n} \left( \frac{2}{3} \right)^{n+6}}\)

Edit:
Właśnie zauważyłem, że przeoczyłem warunek o wygraniu 9 złotych. Moje rozwiązanie oczywiście tego nie uwzględnia. Przepraszam za niedopatrzenie.

[norwimaj]

Niech \(\displaystyle{ P_k}\) oznacza prawdopodobieństwo wygranej, jeśli zaczynamy od \(\displaystyle{ k}\) złotych, zamiast od \(\displaystyle{ 6.}\) Mamy wtedy:

\(\displaystyle{ \begin{cases}
P_0=0\\
P_9=1\\
P_k=\frac13 P_{k-1}+\frac23 P_{k+1}&\text{dla }0<k<9.
\end{cases}}\)

Jeśli dalej się nie pomyliłem, to \(\displaystyle{ P_k=P_1\cdot\frac{2^k-1}{2^{k-1}}}\) dla \(\displaystyle{ k=1,\ldots,9.}\)

Wówczas \(\displaystyle{ P_1=\frac{2^8}{2^9-1}}\) i \(\displaystyle{ P_6=\frac{2^8}{2^9-1}\cdot\frac{2^6-1}{2^5}=\frac{2^6+2^3}{2^6+2^3+1},}\) zatem szukane prawdopodobieństwo jest równe \(\displaystyle{ \frac1{2^6+2^3+1}=\frac1{73}.}\)