rozkład warunkowy zmiennej losowej

[leszczu450]

Cześć !

Wektor losowy \(\displaystyle{ \left( X,Y \right)}\) ma gęstość:

\(\displaystyle{ f_{ \left( X,Y \right) } \left( x,y \right) = \frac{1}{9} \left( x+y+2 \right) \chi_{ \left( 0,2 \right) } \left( x \right) \chi_{ \left( 1,2 \right) } \left( y \right)}\)

Wyznacz gęstośc i dystrybuantę rozkładu warunkowego zmiennej \(\displaystyle{ Y}\) pod warunkiem \(\displaystyle{ X=x}\).

Z góry dziękuję za pomoc : )

[bartek118]

Gęstość liczymy ze wzoru:
\(\displaystyle{ f_{(Y|X)} (y|x) = \frac{f_{(X,Y)} (x,y)}{f_X (x)}}\)
A jak mamy gęstość to już klasycznie dystrybuantę (jako całka od \(\displaystyle{ -\infty}\) do \(\displaystyle{ t}\)).
\(\displaystyle{ f_X}\) otrzymasz całkując gęstość łączną \(\displaystyle{ f_{(X,Y)}}\) po \(\displaystyle{ y}\).

[leszczu450]

Bartku, tutaj moje obliczenia:

\(\displaystyle{ f_X(x)= \int_{\RR} \frac{1}{9}(x+y+2) \chi_{(0,2)}(x) \chi_{(1,2)}(y) \mathrm{d}y= \frac{1}{9} \chi_{(0,2)}(x) \int_1^2 x+y+2 \mathrm{d}y = \frac{1}{9} \chi_{(0,2)}(x) \cdot \left( x+ \frac{7}{2} \right)}\)

Zatem :

\(\displaystyle{ f_{(Y|X)} (y|x) = \frac{f_{(X,Y)} (x,y)}{f_X (x)}= \frac{ \frac{1}{9} \left( x+y+2 \right) \chi_{ \left( 0,2 \right) } \left( x \right) \chi_{ \left( 1,2 \right) } \left( y \right)}{\frac{1}{9} \chi_{(0,2)}(x) \cdot \left( x+ \frac{7}{2} \right)}= \frac{x+y+2}{x+ \frac{7}{2} }\chi_{(1,2)}(y)}\)

o ile \(\displaystyle{ f_X(x) \neq 0}\). Dla posotałych będzie to równe 0. Zatem można to zwinąć w jeden wzór:

\(\displaystyle{ f_{(Y|X)} (y|x) =\frac{x+y+2}{x+ \frac{7}{2} }\chi_{(1,2)}(y) \chi_{(0,2)}(x)}\)

Czy do tej pory wszystko jest ok ?