Oblicz rozkład zmiennej

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Awatar użytkownika
leszczu450
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4414
Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 1589 razy
Pomógł: 364 razy

Oblicz rozkład zmiennej

Post autor: leszczu450 »

Cześć !

\(\displaystyle{ X,Y}\) to niezależne zmienne losowe takie, że \(\displaystyle{ X \sim \mathcal{E} \left( \lambda \right)}\) oraz \(\displaystyle{ Y \sim \mathcal{U} \left( 0,1 \right)}\). Znajdź rozkład zmiennej \(\displaystyle{ Z=X+Y}\)

Liczę więc najpierw gęstości:
\(\displaystyle{ f_X left( x
ight) =lambda e^{-lambda x}chi_{ left[ 0, + infty
ight) } left( x
ight) \ f_Y left( y
ight) =chi_{ left( 0,1
ight) } left( y
ight)}\)


Z niezależności zmiennych mamy, że:
\(\displaystyle{ f_{ left( X,Y
ight) } left( x,y
ight) = lambda e^{-lambda x}chi_{ left[ 0, + infty
ight) } left( x
ight) chi_{ left( 0,1
ight) } left( y
ight)}\)


Dla \(\displaystyle{ t\leq 0}\) mamy, że:
\(\displaystyle{ P \left( Z<t \right) =P \left( X+Y<t \right) =0}\), bo zarówno \(\displaystyle{ X}\) jak i \(\displaystyle{ Y}\) są nieujemne.

Dla \(\displaystyle{ t>0}\) mamy, że:
\(\displaystyle{ P \left( Z<t \right) =P \left( X+Y<t \right) = \int_{\left\{ \left( x,y \right) , \ x+y <t\right\} } f_{ \left( X,Y \right) } \left( x,y \right) \mathrm{d} \left( x,y \right)}\)

I teraz problem mam z granicami całkowania. Rysuję układ współrzędnych. \(\displaystyle{ 0<y<1}\) oraz \(\displaystyle{ x \geq 0}\). Więc póki co mam taki poziomy pasek o wysokości \(\displaystyle{ 1}\) w pierwszej ćwiartce . Teraz warunek \(\displaystyle{ x+y<t}\). Czyli \(\displaystyle{ y<-x+t}\) dla \(\displaystyle{ t}\) dodatnich. To będą proste malejące i jak \(\displaystyle{ t}\) będzie rosło, to prostę będą się przesuwały w prawo. Więc jak teraz dobrać granice całki?

\(\displaystyle{ P \left( Z<t \right) =P \left( X+Y<t \right) = \int_{\left\{ \left( x,y \right) , \ x+y <t\right\} } f_{ \left( X,Y \right) } \left( x,y \right) \mathrm{d} \left( x,y \right) = \int_0^t \int_0^{-x+t} \lambda e^{-\lambda x} \mathrm{d}y\mathrm{d}x}\)

?

Czy może pierwsza całka w granicach od zera do nieskończności ?

Z góry dziękuję za pomoc.
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Oblicz rozkład zmiennej

Post autor: bartek118 »

Końcowa całka zależy od tego, czy \(\displaystyle{ t >1}\), czy \(\displaystyle{ t < 1}\). Gdy \(\displaystyle{ t < 1}\) to całkę napisałeś OK. Natomiast narysuj obszar, gdy \(\displaystyle{ t > 1}\); wtedy musisz rozbić to na dwie całki (bo to będzie trapez - dzielimy go na prostokąt i trójkąt).
Awatar użytkownika
leszczu450
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4414
Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 1589 razy
Pomógł: 364 razy

Oblicz rozkład zmiennej

Post autor: leszczu450 »

bartek118, nie wiem jak to zgrabnie zapisać...


\(\displaystyle{ P \left( Z<t \right) =P \left( X+Y<t \right) = \int_{\left\{ \left( x,y \right) , \ x+y <t\right\} } f_{ \left( X,Y \right) } \left( x,y \right) \mathrm{d} \left( x,y \right)= \begin{cases} \int_0^t \int_0^{-x+t} \lambda e^{-\lambda x} \mathrm{d}y\mathrm{d}x , & t<1 \\ ? , & t >1 \end{cases}}\)

Wpadł mi do głowy jeszcze inny pomysł. Żeby spojrzeć na to jak na obszar normalny względem osi \(\displaystyle{ OY}\). Wtedy nie ma potrzeby rozdzielania tego na przypadki i mielibyśmy dla każdego \(\displaystyle{ t>0}\) takie coś:

\(\displaystyle{ P \left( Z<t \right) =P \left( X+Y<t \right) = \int_{\left\{ \left( x,y \right) , \ x+y <t\right\} } f_{ \left( X,Y \right) } \left( x,y \right) \mathrm{d} \left( x,y \right)= \int_0^1 \int_0^{-y+t} \lambda e^{- \lambda x} \mathrm{d}x \mathrm{d}y}\)

Czy takie coś przejdzie?
rafalpw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2203
Rejestracja: 15 lis 2012, o 00:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 526 razy

Oblicz rozkład zmiennej

Post autor: rafalpw »

Nie. Dla \(\displaystyle{ t \in \left( 0,1\right) \quad y}\) nie zmienia się od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 1}\) , tylko od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ t}\) , więc trzeba liczyć oddzielnie dla tych \(\displaystyle{ t}\) .
Awatar użytkownika
leszczu450
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4414
Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 1589 razy
Pomógł: 364 razy

Oblicz rozkład zmiennej

Post autor: leszczu450 »

I wpadłem już na ten pierwszy sposób . Tak chyba będzie poprawnie:

\(\displaystyle{ P \left( Z<t \right) =P \left( X+Y<t \right) = \int_{\left\{ \left( x,y \right) , \ x+y <t\right\} } f_{ \left( X,Y \right) } \left( x,y \right) \mathrm{d} \left( x,y \right)=}\)

\(\displaystyle{ \int_0^t \int_0^{-x+t} \lambda e^{-\lambda x} \mathrm{d}y\mathrm{d}x , t<1}\)

\(\displaystyle{ \int_{t-1}^t \int_0^{-x+t}\lambda e^{- \lambda x}\mathrm{d}y \mathrm{d}x + \int_0^{t-1} \int_0^1 \lambda e^{-\lambda x}\mathrm{d}y \mathrm{d}x , & t >1}\)

Dobrze?
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Oblicz rozkład zmiennej

Post autor: bartek118 »

Tak
ODPOWIEDZ