rozkład wektora losowego

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 4 gru 2014, o 21:13

Cześć !

Zadanie jest takie:

\(\displaystyle{ X, Y}\) to niezależne zmienne losowe. \(\displaystyle{ Y \sim \mathcal{U}(0,1)}\), zaś \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład dyskretny \(\displaystyle{ P(X=1)=P(X=-1)= 1/2}\). Znajdź rozkład wektora \(\displaystyle{ Z=X+Y}\).

Nie wiem jak się za to zabrać. Proszę o wskazówki.

Z góry dziękuję za pomoc.

rafalpw · Post autor: **rafalpw** » 4 gru 2014, o 21:38

\(\displaystyle{ P\left( Z \le z\right)=P\left( X+Y \le z\right)=P\left( X+Y \le z,X=1\right)+ P\left( X+Y \le z,X=-1\right) =P\left( 1+Y \le z,X=1\right)+ P\left( Y-1 \le z,X=-1\right)}\)

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 4 gru 2014, o 22:32

Doliczyłem tyle:

\(\displaystyle{ P\left( Z \le z\right)=P\left( X+Y \le z\right)=P\left( X+Y \le z,X=1\right)+ P\left( X+Y \le z,X=-1\right) =P\left( 1+Y \le z,X=1\right)+ P\left( Y-1 \le z,X=-1\right)= P \left( Y \leq z-1 \right) \cdot P \left( X=1 \right) + P \left( Y\leq z+1 \right) \cdot P \left( X=-1 \right) = \frac{1}{2}F_Y \left( z-1 \right) + \frac{1}{2}F_Y \left( z+1 \right)}\)

Teraz wzorek na dystrybuantę muszę zastosować ten zadany klamrą ?

rafalpw · Post autor: **rafalpw** » 5 gru 2014, o 00:05

Innego nie ma.

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 5 gru 2014, o 00:29

rafalpw, ok. Czyli wystarczy, że napiszę teraz jak wygląda \(\displaystyle{ F_Y \left( z-1 \right)}\) i \(\displaystyle{ F_Y \left( z+1 \right)}\) i to koniec zadania ? Czy da się to jeszcze jakoś zwinąć w prostszą postać ?

rafalpw · Post autor: **rafalpw** » 5 gru 2014, o 02:10

Odpowiedź masz już napisaną, bo znasz jawny wzór na \(\displaystyle{ F_Y}\) .

P.S. Ładną odpowiedzią jest: \(\displaystyle{ Z \sim U\left( \left[ -1,0\right] \cup \left[ 1,2\right] \right)}\) , bo jeśli otrzymany rozkład jest znanym rozkładem to warto to napisać.

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 5 gru 2014, o 11:44

rafalpw, mógłbyś mi pokazać, jak to skleiłeś w taki ładny jawny wzór ?

rafalpw · Post autor: **rafalpw** » 6 gru 2014, o 00:48

\(\displaystyle{ f_Z(z)= \frac{1}{2}f_Y(z-1)+ \frac{1}{2}f_Y(z+1)=\frac{1}{2}\chi_{(0,1)}(z-1)+ \frac{1}{2}\chi_{(0,1)}(z+1)= \frac{1}{2}\left( \chi_{(1,2)}(z)+\chi_{(-1,0)}(z)\right) = \frac{1}{2} \chi_{(-1,0) \cup (1,2)}(z)}\)

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 6 gru 2014, o 00:51

rafalpw, wszystko jasne ! : ) Ja wcześniej sobie rozpisałem na kartce dystrybuanty, dodałem w odpowiednich przedziałach i potem zróżniczkowałem i również mi tak wyszło : ) Aczkolwiek Twoje rozumowanie jest "ładniejsze" : ) Dzięki wielkie za pomoc !