prawdopodobieństwo i rozkład geometryczny

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 4 gru 2014, o 15:06

Cześć !

Męczę się z takim zadaniem:

\(\displaystyle{ X \sim G \left( \frac{1}{2} \right)}\). Znajdź rozkład, wartość oczekiwaną i wariancję zmiannej \(\displaystyle{ Y= \sin \left( \frac{\pi}{2}X \right)}\).

Wiem, że \(\displaystyle{ P \left( X=k \right) = \left( \frac{1}{2} \right) ^{k}}\) dla \(\displaystyle{ k \in \left\{ 1,2, \ldots \right\}}\)

Szukam zatem rozkładu \(\displaystyle{ Y}\)

\(\displaystyle{ P \left( Y=k \right) = P \left( \sin\left( \frac{\pi}{2}X \right) =k \right)}\)

Jak ruszyć dalej?

Z góry dziękuję za pomoc.

Adifek · Post autor: **Adifek** » 4 gru 2014, o 15:07

\(\displaystyle{ P \left( Y=k \right) = P \left( \sin\left( \frac{\pi}{2}X \right) =k \right)}\)

Czy aby na pewno?

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 4 gru 2014, o 15:12

Adifek, racja! Powtarza się potem co \(\displaystyle{ 2 \pi}\) wszystko. Ale jak to zapiać formalnie?

\(\displaystyle{ P \left( Y=k \right) = P \left( \sin\left( \frac{\pi}{2}X \right) =k + 2l\pi\right)}\) ?

Adifek · Post autor: **Adifek** » 4 gru 2014, o 15:13

leszczu450 pisze:Adifek, racja! Powtarza się potem co \(\displaystyle{ 2 \pi}\) wszystko. Ale jak to zapiać formalnie?

\(\displaystyle{ P \left( Y=k \right) = P \left( \sin\left( \frac{\pi}{2}X \right) =k + 2l\pi\right)}\) ?

Przecież sinus jest ograniczony... \(\displaystyle{ Y}\) przyjmuje tylko wartości ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ -1,0,1\right\}}\).

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 4 gru 2014, o 15:17

Adifek, hmmm więc wydaje mi się , że dla \(\displaystyle{ k \geq 2}\) mamy \(\displaystyle{ P \left( Y=k \right) =0}\), zaś dla \(\displaystyle{ k=1}\) mamy:

\(\displaystyle{ P \left( Y=1 \right) =P \left( \sin \left( \frac{\pi}{2}X \right) =1 \right) =P \left( X=1+4l \right)}\) dla \(\displaystyle{ l=0,1 , \ldots}\)

Adifek · Post autor: **Adifek** » 4 gru 2014, o 15:21

\(\displaystyle{ P(Y=1)}\) dobrze.

Niemniej wydaje mi się, że nadal nie chwytasz, że \(\displaystyle{ X}\) jest pod sinusem i gdyby tam nie było akurat \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\), to \(\displaystyle{ Y}\) nie przyjmowałby wartości całkowitych.

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 4 gru 2014, o 15:24

Adifek, no to zaraz rozważymy takie lekko zmienione zadanie : ) Ale póki co skończmy to dobrze? : )

Więc tak jak pisałem, dla \(\displaystyle{ k \geq 2}\) prawdopodobieństwo jest zawsze zerowe.
Dla \(\displaystyle{ k=1}\) mamy

\(\displaystyle{ P \left( Y=1 \right) =P \left( \sin \left( \frac{\pi}{2}X \right) =1 \right) =P \left( X=1+4l \right)= \left( \frac{1}{2} \right) ^{1+4l}}\)

Czy to już wszystko odnośnie wyznaczenia rozkładu ?

Adifek · Post autor: **Adifek** » 4 gru 2014, o 15:25

A co z \(\displaystyle{ P(Y=0)}\) oraz \(\displaystyle{ P(Y=-1)}\)?

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 4 gru 2014, o 15:33

Adifek, a fakt ! Zapomniałem o tym.

\(\displaystyle{ P \left( Y=1 \right) =P \left( \sin \left( \frac{\pi}{2}X \right) =1 \right) =P \left( X=1+4l \right)= \left( \frac{1}{2} \right) ^{1+4l}}\)

\(\displaystyle{ P \left( Y=0 \right) =P \left( \sin \left( \frac{\pi}{2}X \right) =0 \right) = P \left( X=l \right) = \left( \frac{1}{2} \right) ^{l}}\) dla \(\displaystyle{ l=0,1,2, \ldots}\)

\(\displaystyle{ P \left( Y=-1 \right) =P \left( \sin \left( \frac{\pi}{2}X \right) =-1 \right) =P \left( X=4l-1 \right) = \left( \frac{1}{2} \right) ^{4l-1}}\) dla \(\displaystyle{ l=1,2, \ldots}\)

Adifek · Post autor: **Adifek** » 4 gru 2014, o 15:35

Nie uważasz, że warto może coś posumować?

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 4 gru 2014, o 15:39

Adifek, no właśnie chciałbym to po tych \(\displaystyle{ l}\) posumować .

\(\displaystyle{ P \left( Y=0 \right) =P \left( \sin \left( \frac{\pi}{2}X \right) =0 \right) = P \left( X=l \right) = \sum_{l=0}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right) ^{l}= 2}\)

I wychodzi głupota.

Adifek · Post autor: **Adifek** » 4 gru 2014, o 15:45

Ech, chce wierzyć, że masz zły dzień

\(\displaystyle{ P\left( Y=0 \right) =P \left( \sin \left( \frac{\pi}{2}X \right) =0 \right) = P \left( X=2l, l=1,2,3,... \right) = \sum_{l=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right) ^{2l}= \sum_{l=1}^{\infty} \left( \frac{1}{4} \right)^{l} = \frac{1}{1- \frac{1}{4} }-1 = \frac{1}{3}}\)

itd.

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 4 gru 2014, o 16:09

Adifek, ale wtopa... : ) to rzeczywiście zły dzień ... Analogicznie postępuje w pozostałych dwóch przypadkach... Moje wyniki to:

\(\displaystyle{ P\left( Y=0 \right) =P \left( \sin \left( \frac{\pi}{2}X \right) =0 \right) = P \left( X=2l, l=1,2,3,... \right) = \sum_{l=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right) ^{2l}= \sum_{l=1}^{\infty} \left( \frac{1}{4} \right)^{l} = \frac{1}{1- \frac{1}{4} }-1 = \frac{1}{3}= \frac{5}{15}}\)

\(\displaystyle{ P \left( Y=1 \right) =P \left( \sin \left( \frac{\pi}{2}X \right) =1 \right) =P \left( X=1+4l \right)= \sum_{l=0}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right) ^{1+4l}= \frac{8}{15}}\)

\(\displaystyle{ P \left( Y=-1 \right) =P \left( \sin \left( \frac{\pi}{2}X \right) =-1 \right) =P \left( X=4l-1 \right)= \sum_{l=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right) ^{4l-1}= \frac{2}{15}}\)

Jest dobrze, bo wszystkie p-stwa sumują się do jedności : )

Teraz wartośc oczekiwana \(\displaystyle{ Y}\).

\(\displaystyle{ EY= 0 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{8}{15} + \left( -1\right) \cdot \frac{2}{15}= \frac{6}{15}= \frac{2}{5}}\)

Jest ok? : )-- 4 gru 2014, o 21:05 --Teraz wariancja:

\(\displaystyle{ Var Y= EY^2 - (EY)^2}\)

Potrzebuję zatem \(\displaystyle{ EY^2}\)

\(\displaystyle{ EY^2= 0^2 \cdot \frac{1}{3} + 1^2 \cdot \frac{8}{15} + \left( -1\right)^2 \cdot \frac{2}{15}= \frac{8}{15}+ \frac{2}{15}= \frac{10}{15}= \frac{2}{3}}\)

Zatem:

\(\displaystyle{ Var Y = \frac{2}{3} - \left( \frac{2}{5} \right) ^{2}= \frac{2}{3}- \frac{4}{25}= \frac{38}{75}}\)